2025高考数学二轮专题复习专题二 三角函数与解三角形微拓展1极化恒等式和等和线定理 .docx
微拓展1极化恒等式和等和线定理
[考情分析]利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题.等和线可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；用向量共线定理求解则更加简洁.
考点一极化恒等式
极化恒等式：a·b=14[(a+b)2-(a-b)2]
(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14
(2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则：
①PM·PN=14(|PQ|2-|NM|2)(平行四边形模式)
②PM·PN=|PO|2-14|NM|2(三角形模式)
例1(1)(2024·咸阳模拟)已知在边长为1的菱形ABCD中，若点E为线段CD的中点，则AE·EB等于()
A.32 B.3
C.-34 D.-
答案C
解析设F是AB的中点，则EF=1，根据极化恒等式AE·EB=-EA·EB=-|EF|2-1
(2)(2024·泰安模拟)在同一平面内，M，N是两个定点，P是动点，若MP·NP=4，则点P的轨迹为()
A.椭圆 B.抛物线
C.直线 D.圆
答案D
解析设M，N的中点为A，由极化恒等式可得MP·NP=|PA|2-14|MN|2=4，因为M，N
(3)如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD内一点(包含边界)，且PA⊥PB，则PC·PD的取值范围是.?
答案[0，4]
解析如图，∵PA⊥PB，
∴点P在以AB为直径的半圆上，取CD的中点O，连接PO，
由向量极化恒等式知PC·PD=|PO|2-|OC|2=|PO|2-1，
当点P在A(或B)处时，|PO|max=5
当点P在AB的中点时，|PO|min=1，
∴|PO|∈[1，5]
∴PC·PD的取值范围是[0，4].
[规律方法]在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤
(1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点；
(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；
(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.
注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.
跟踪演练1(1)如图，在四边形ABCD中，|AC|=4，BA·BC=12，E为AC的中点.BE=2ED，则AD·CD的值为(
A.0 B.12
C.2 D.6
答案A
解析∵|AC|=4，E为AC的中点，
∴|AE|=|CE|=2，
根据极化恒等式可得BA·BC=|BE|2-|EA|2=|BE|2-4=12，
∴|BE|=4，
∴|DE|=12|BE|=2
∴AD·CD=DA·DC=|DE|2-|EA|2=4-4=0.
(2)(2024·贵州省名校协作体联考)已知椭圆C：x29+y28=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在直线l：x+y-4=0上运动，则MF1·
A.7 B.9
C.13 D.15
答案A
解析由椭圆C：x29+y28=1可得F1(-1，0)，F2(1
设原点为O，根据极化恒等式可得
MF1·MF2=|MO|2-14|F1F2|2
点M在直线l：x+y-4=0上运动，根据点到直线的距离公式，可得|MO|min=42=22，故MF1·
(3)已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为AD，BC的中点，如果对于常数λ，在正方形ABCD的四条边上，有且只有8个不同的点P，使得PE·PF=λ成立，那么λ的取值范围是()
A.(0，2] B.(0，2)
C.(0，4] D.(0，4)
答案D
解析如图所示，设EF的中点为O，则根据极化恒等式可得PE·PF=|PO|2-4=λ即|PO|2=λ+4，所以|PO|=λ+4，由对称性可知每个边上存在两个点P，所以点P在边的中点和顶点之间，故
考点二等和线
平面向量等和线定理
平面内一组基底{OA，OB}及任一向量OP，且OP=λOA+μOB(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k=|OP||OF|=OB1||OB|=OA1||OA|，则λ
(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；
(4)当等和线过O点时，k=0；
(5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
例2(1)(2024·包头模拟)如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC上的点，BE=3EA，BF=3FC.若线段EF上存在一点M，使得DM=12DC+xDA(x∈R)，则
A.34 B.3
C.23 D.
答案A
解析由图可知，直线A