第十二章选考部分(理)12-3不等式选讲课程.ppt

重点难点 重点：①不等式的性质、基本不等式的应用、含绝对值不等式的解法和不等式的基本证明方法． ②柯西不等式与排序不等式的应用 难点：①应用基本不等式解决一些实际问题； ②含绝对值的三角不等式； ③不等式的证明思路． 知识归纳 一、不等式的性质和数学归纳法前面已复习过，这里不再赘述 二、含绝对值不等式的解法 ①|ax＋b|≤c(c0)?－c≤ax＋b≤c， |ax＋b|≥c(c0)?ax＋b≥c或ax＋b≤－c， ②|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法． 解法1：S1　令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根． S2　把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干个小区间． S3　在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集． S4　这些解集的并集就是原不等式的解集． 解法2：构造函数f(x)＝|x－a|＋|x－b|－c，写出f(x)的分段解析式作出图象，找出使f(x)≤0(或f(x)≥0)的x的取值范围即可． 解法3：利用绝对值的几何意义求解，|x－a|＋|x－b|表示数轴上点P(x)到点A(a)、B(b)距离的和．关键找出到A、B两点距离之和为c的点，“≤”取中间，“≥”取两边． 注意这里c≥|a－b|，若c|a－b|，则|x－a|＋|x－b|≤c的解集为?，|x－a|＋|x－b|≥c的解集为R. 2．综合法：证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义、定理、性质等，逐步推导得出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法． 3．分析法：证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理、逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明方法称为分析法，它是执果索因的方法． 分析法与综合法常常结合起来运用，看由已知条件能产生什么结果，待定命题需要什么条件，两边凑一凑找出证明途径，常常是分析找思路，综合写过程． 4．反证法：证明不等式时，首先假设要证明的命题不正确，把它作为条件和其它条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明过的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法． 5．放缩法：证明不等式，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明目的，这种方法称为放缩法． 2．二维形式的柯西不等式： (1)定理1(代数形式)　设a1、a2、b1、b2均为实数，则 (a12＋a22)(b12＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2. 上式等号成立?a1b2＝a2b1. (2)定理2(向量形式)　设α、β为平面上的两个向量，则 |α||β|≥|α·β|. 当α及β为非零向量时，上式中等号成立?向量α和β共线?存在实数λ≠0，使得α＝λβ. 当α或β为零向量时，上面结果仍成立． (5)定理5(三角不等式的向量形式) 设α、β、γ为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|，当α－β、β－γ为非零向量时，上式中等号成立?存在正常数λ，使α－β＝λ(β－γ)?向量α－β与β－γ同向． 六、排序不等式 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1、c2、…、cn为b1、b2、…、bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn. 即反序和≤乱序和≤顺序和． 八、贝努利不等式 设x－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n1＋nx. 误区警示 1．使用均值不等式求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”的条件，且注意变形配凑技巧． 2．基本不等式及其变式中的条件要准确把握． 如a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，a＋b≥2(a，b∈R＋)等． 3．含绝对值三角不等式：|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件应注意|a＋b|＝|a|＋|b|中a·b≥0，而|a－b|＝|a|＋|b|中a·b≤0等． 7．应用放缩法证明不等式时，放缩要适当，既不能放的过小，也不能放过了头． 8．用数学归纳法证明不等式时，关键是配凑合适的项便于应用归纳假设． 9．应用柯西不等式关键是分析、观察所给式子的特点，从中找出柯西不等式的必备形式特点及等号成立的条件． 10．柯西不等式及排序不等式中ai、bi(i＝1,2，…，n)均为实数，而平均值不等式中ai为正数． [例1]　若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则 ①ab的取值范围是________． ②a＋b的取值范围是________