数字信号处理第三章.ppt

第三章无限长单位脉冲响应〔IIR〕滤波器设计;概述;数字滤波器的数学描述：;数字滤波器的设计步骤：;1〕先设计一个适宜的模拟滤波器H(s)，然后变换成满足预定指标的数字滤波器H(z)。;3.1根据模拟滤波器设计IIR滤波器;ha(t)Ha(s);▲如何计算H(z):

设模拟系统函数为：;▲s平面和z平面的映射关系;稳定性：

如果模拟滤波器是稳定的，那么所有极点si都在s左半平面，即Re[si]＜0,那么变换后H(z)的极点，也都在单位圆以内

即

因此数字滤波器保持稳定。;s平面;频谱混叠：;但是，任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可防止地存在频谱的交叠，即频谱混叠;例将一个具有如下系统函数

的模拟滤波器数字化。;显然与采样间隔T有关,T越小,衰减越大,混叠越小,当fs=24Hz,混叠可忽略不计;小结;2双线性变换法;虚轴压缩通过正切变换实现：;当z=ejω,;验证是否符合从S平面到Z平面映射变换的二个根本要求：;即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器也是稳定的。满足第二个要求.;小结;a.数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变。;虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带局部要求逼近一个衰减为∞的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。;预畸变：;３)计算H(Z)

双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于s与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。

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置换过程:;3.2常用模拟低通滤波器特性;0一般方法;频响幅度平方函数为;1〕巴特沃思滤波器(Butterworth滤波器)(巴特沃思逼近);??渡带为零，

阻带|H(jΩ)|=0

通带内幅度|H(jΩ)|=常数.，

H(jΩ)的相位是线性的。;幅度平方函数的极点：;考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半局部的极点〔SP3，SP4，SP5〕组成的，它们分别为：;2切比雪夫〔Chebyshev〕滤波器(切比雪夫多项式逼近);VN〔x〕N阶切比雪夫多项式，定义为;当Ω=0时，;给定通带波纹值分贝数后，可求。;(3)、阶数N：由阻带的边界条件确定。〔、A事先给定〕;3椭圆〔Elliptic〕滤波器〔考尔滤波器〕;在归一化通带内〔-1≤Ω≤1〕，在〔0，1〕间

振荡，而超过ΩL后，在间振荡。;典型的椭园滤波器振幅平方函数;当Ωc、Ωr、ε和A确定后，阶次N确实定方法为：;三种模拟低通滤波器的设计方法，设计时按照指标要求，合理选用。;3.3从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换;1低通变换;一．低通变换

通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：

1〕确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率{ωk}。

2〕由变换关系将{ωk}映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值{Ωk}。

3〕根据{Ωk}设计模拟滤波器的Ha(s)

4〕把Ha(s)变换成H(z)〔数字滤波器系统函数〕;解：a.脉冲响应不变法

由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按Ωc=2πfc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率Ωc归一化的三阶巴特沃思滤波器的传递函数为〔可查表〕;分解为局部分式;可见，H〔z〕与采样周期T有关，T越小，H〔z〕的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H〔z〕后，再乘以因子T，使H〔z〕只与有关，即只与fc和fs的相对值

有关，而与采样频率fs无直接