理论力学第一章习题.docx

第一章习题 1.4 细杆绕点以角速转动，并推动小环C在固定的钢丝上滑动。图中的为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。 解 如题1.4.1图所示， 绕点以匀角速度转动，在上滑动，因此点有一个垂直杆的速度分量 点速度 又因为所以点加速度 1.5 矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示： 式中及为常数，试求运动开始秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。 解 由题可知，变加速度表示为 由加速度的微分形式我们可知 代入得 对等式两边同时积分 可得 ： （为常数） 代入初始条件：时，，故 即 又因为 所以 对等式两边同时积分，可得： 1.6 一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为及，式中及是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为 解 由题可知质点的位矢速度 (1) 沿垂直于位矢速度 (2) 又因为 rr??? r r ? ? ? ? // v (4) 对③求导 rr r r r 2 ? ? ? ? ? ? ? 对④求导 (6) 根据课本的推导可知 沿位矢方向加速度 （7） 垂直位矢方向加速度 （8） 把（3）（4）（5）（6）代入（7）（8）式中可得 1.7 试自 出发，计算及。并由此推出径向加速度及横向加速度。 解 由题可知 ①② 对①求导 ③ 对③求导 ④ 对②求导 ⑤ 对⑤求导 ⑥ 对于加速度，我们有如下关系见题1.7.1图 ⑾ 把④⑥代入 ⑾得 同理可得 1.14 一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米。如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，且风速为每小时28 解 正方形如题1.14.1图。 由题可知设风速,,当飞机 ， 故飞机沿此边长6正方形飞行一周所需总时间 1.17 小船被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度2?朝岸上点划回。假定河流速度1? 沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。 2 ? 1 ? 解 以为极点，岸为极轴建立极坐标如题.17.1图. 船沿垂直于的方向的速度为?sin?1?，船沿径向方向的速度为2?和1 ? sin ? 1 ? 2 ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 1 cos sin ? ? dt dr ? dt d r ? ? ②/①得 ?? ? ? ? d ? ? r dr ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? cot sin 1 2 C C ? ? r ? ? ? ? ? sin ln 2 tan ln ln 1 2 设Ck C k ? ? , 2 , 1 2 ? ? ? ? 代入初始条件时，.设有得 1.19 将质量为的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即。如上抛时的速度为，试证此质点又落至投掷点时的速度为 解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意图如题1.19.1图， 上升时 下降时 题1.19.1图 则两个过程的运动方程为： 上升 ① 下降： 22 2 2 y g mk mg y m ? ? ? ? ? ? 对上升阶段: 即 对两边积分 所以 ③ 即质点到达的高度. 对下降阶段： 2 2 2 gv k -g dy vdv dt dy dy dv ? ? ? 即 gdy gdy v k vdv h v ? ? ?? ? 0 2 2 0 1 1 ④ 由③=④可得 1.28 重为的不受摩擦而沿半长轴为、半短轴为的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的。如小球自长2轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。 解 建立如题1.28.1图所示直角坐标. 椭圆方程 ① 从滑到最低点，只有重力做功.机械能守恒.即② 设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为则有：?2v ? 2 v m mg N ? ? 为 点的曲率半径. 的轨迹： 得 ； 又因为 所以 故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为 方向垂直轨道向下. 1.36 检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。 ，， 解 （a）保守力满足条件对题中所给的力的表达式 ，代入上式 即 所以此力是保守力，其势为 (b)同（a）， 由 所以此力是保守力，则其势能为 1.38 已知作用在质点上的力为 式中系数都是常数。问这些应满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。 解 要满足势能的存在，即力场必须是无旋场，亦即力为保守力，所以