理论力学第一章习题.docx
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第一章习题
1.4 细杆绕点以角速转动,并推动小环C在固定的钢丝上滑动。图中的为已知常数,试求小球的速度及加速度的量值。
解 如题1.4.1图所示,
绕点以匀角速度转动,在上滑动,因此点有一个垂直杆的速度分量
点速度
又因为所以点加速度
1.5 矿山升降机作加速度运动时,其变加速度可用下式表示:
式中及为常数,试求运动开始秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。
解 由题可知,变加速度表示为
由加速度的微分形式我们可知
代入得
对等式两边同时积分
可得 :
(为常数)
代入初始条件:时,,故
即
又因为
所以
对等式两边同时积分,可得:
1.6 一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为及,式中及是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为
解 由题可知质点的位矢速度 (1)
沿垂直于位矢速度 (2)
又因为 rr???
r
r
?
?
?
?
//
v
(4)
对③求导
rr
r
r
r
2
?
?
?
?
?
?
?
对④求导
(6)
根据课本的推导可知 沿位矢方向加速度
(7)
垂直位矢方向加速度
(8)
把(3)(4)(5)(6)代入(7)(8)式中可得
1.7 试自
出发,计算及。并由此推出径向加速度及横向加速度。
解 由题可知
①②
对①求导
③
对③求导
④
对②求导 ⑤
对⑤求导
⑥
对于加速度,我们有如下关系见题1.7.1图
⑾
把④⑥代入 ⑾得
同理可得
1.14 一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米。如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行,且风速为每小时28
解 正方形如题1.14.1图。
由题可知设风速,,当飞机
,
故飞机沿此边长6正方形飞行一周所需总时间
1.17 小船被水冲走后,由一荡桨人以不变的相对速度2?朝岸上点划回。假定河流速度1? 沿河宽不变,且小船可以看成一个质点,求船的轨迹。
2
?
1
?
解 以为极点,岸为极轴建立极坐标如题.17.1图.
船沿垂直于的方向的速度为?sin?1?,船沿径向方向的速度为2?和1
?
sin
?
1
?
2
?
1
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
1
cos
sin
?
?
dt
dr
?
dt
d
r
?
?
②/①得 ??
?
?
?
d
?
?
r
dr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
cot
sin
1
2
C
C
?
?
r
?
?
?
?
?
sin
ln
2
tan
ln
ln
1
2
设Ck
C
k
?
?
,
2
,
1
2
?
?
?
?
代入初始条件时,.设有得
1.19 将质量为的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比,即。如上抛时的速度为,试证此质点又落至投掷点时的速度为
解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意图如题1.19.1图,
上升时 下降时
题1.19.1图
则两个过程的运动方程为:
上升
①
下降:
22
2
2
y
g
mk
mg
y
m
?
?
?
?
?
?
对上升阶段:
即
对两边积分
所以
③
即质点到达的高度.
对下降阶段:
2
2
2
gv
k
-g
dy
vdv
dt
dy
dy
dv
?
?
?
即
gdy
gdy
v
k
vdv
h
v
?
?
??
?
0
2
2
0
1
1
④
由③=④可得
1.28 重为的不受摩擦而沿半长轴为、半短轴为的椭圆弧滑下,此椭圆的短轴是竖直的。如小球自长2轴的端点开始运动时,其初速度为零,试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。
解 建立如题1.28.1图所示直角坐标.
椭圆方程 ①
从滑到最低点,只有重力做功.机械能守恒.即②
设小球在最低点受到椭圆轨道对它的支持力为则有:?2v
?
2
v
m
mg
N
?
?
为
点的曲率半径. 的轨迹:
得 ;
又因为
所以
故根据作用力与反作用力的关系小球到达椭圆最低点对椭圆压力为
方向垂直轨道向下.
1.36 检验下列的力是否是保守力。如是,则求出其势能。
,,
解 (a)保守力满足条件对题中所给的力的表达式 ,代入上式
即
所以此力是保守力,其势为
(b)同(a),
由
所以此力是保守力,则其势能为
1.38 已知作用在质点上的力为
式中系数都是常数。问这些应满足什么条件,才有势能存在?如这些条件满足,试计算其势能。
解 要满足势能的存在,即力场必须是无旋场,亦即力为保守力,所以
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