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不同的切入点,同样精彩的解题策略.doc

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不同的切入点,同样精彩的解题策略

杭州学军中学张春杰

提高学生的解题能力是数学的重要任务,通过对典型问题的分析和研究,通过不同的切口研究,使学生对题目的本质有更深层次的认识,从而提高他们分析问题,研究问题和解决问题的能力。

已知函数设m,n分别为的极大值和极小值,若存在实数求a的取值范围.(e为自然对数的底)

一:切口之一,通过降维,减少未知数,转化化归,构造一元函数

分析策略:,故a0,f’(x)=0可知:ax2-2bx+a=0在(0,+?)上有两个不同的实根,不妨两根为0x1x2,且由伟达定理,x1x2=1,x1+x2=,,则可以得出:

于是:m-n=f(x1)-f(x2)=

=a(4lnx1+)=1,故,不妨令右式=h(x1),h’(x1)=0,

h(x1)在上单减,故h()h(),于是

二:切口之二,通过换元,数形结合,利用方程根存在的条件,解决问题

分析策略:,故a0,t=f’(x)=0可知:ax2-2bx+a=0在(0,+?)上有两个不同的实根,即x2-2tx+1=0不妨两根为x1x2,则x1=t-,x2=t+,则m-n=f(x1)-f(x2)=f(t-)-f(t+)=4a(t+ln(t-),令

h(t)=t+ln(t-),h’(t)=20恒成立,h(t)单增,故(m-n)的最小值为

ah(),(m-n)的最大值为ah(),因为是存在性问题,只要:,即可解出:

三:切口之三,通过换元,寻找关于未知量的函数特征,利用单调性

分析策略:,故a0,t=f’(x)=0可知:ax2-2bx+a=0在(0,+?)上有两个不同的实根,即x2-2tx+1=0不妨两根为x1x2,则x1=t-,x2=t+,则m-n=f(x1)-f(x2)=f(t-)-f(t+)=4a(t+ln(t-)=1,

故=t+ln(t-),记h(t)=t+ln(t-),h’(t)=20恒成立,

=h()=h(,即可解出:

感悟:在我们的解题教学中,要引导同学正确的分析和研究问题,通过研究一个问题,串起一片知识,激起多种方法,体会多种数学思想,时间久啦,学生的思维发散能力自然会大幅度提升。

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