万能公式推导.docx

万能公式推导 　　 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=657153 \t /_blank sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/（cos^2（α）+sin^2（α））......*， 　　（因为cos^2（α）+sin^2（α）=1） 　　再把*分式上下同除cos^2（α），可得sin2α=2 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=657166 \t /_blank tanα/（1+tan^2（α）） 　　然后用α/2代替α即可。 　　同理可推导 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=506757 \t /_blank 余弦的万能公式。 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=506801 \t /_blank 正切的 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=7642138 \t /_blank 万能公式可通过 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=511369 \t /_blank 正弦比余弦得到。 　　三倍角公式推导 　　tan3α=sin3α/cos3α 　　=（sin2αcosα+cos2αsinα）/（cos2αcosα-sin2αsinα） 　　=（2sinαcos^2（α）+cos^2（α）sinα－sin^3（α））/（cos^3（α）－cosαsin^2（α）－2sin^2（α）cosα） 　　上下同除以cos^3（α），得： 　　tan3α=（3tanα－tan^3（α））/（1-3tan^2（α）） 　　sin3α=sin（2α+α）=sin2αcosα+cos2αsinα 　　=2sinαcos^2（α）+（1－2sin^2（α））sinα 　　=2sinα－2sin^3（α）+sinα－2sin^3（α） 　　=3sinα－4sin^3（α） 　　cos3α=cos（2α+α）=cos2αcosα－sin2αsinα 　　=[2cos^2（α）－1]cosα－2cosαsin^2（α） 　　=2cos^3（α）－cosα+[2cosα－2cos^3（α）] 　　=4cos^3（α）－3cosα 　　即 　　sin3α=3sinα－4sin^3（α） 　　cos3α=4cos^3（α）－3cosα 　　和差化积公式推导 　　首先，我们知道sin（a+b）=sina*cosb+cosa*sinb，sin（a-b）=sina*cosb-cosa*sinb 　　我们把两式相加就得到sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb 　　所以，sina*cosb=[sin（a+b）+sin（a-b）]/2 　　同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=[sin（a+b）-sin（a-b）]/2 　　同样的，我们还知道cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb，cos（a-b）=cosa*cosb+sina*sinb 　　所以，把两式相加，我们就可以得到cos（a+b）+cos（a-b）=2cosa*cosb 　　所以我们就得到，cosa*cosb=[cos（a+b）+cos（a-b）]/2 　　同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-[cos（a+b）-cos（a-b）]/2 　　这样，我们就得到了 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=174105 \t /_blank 积化和差的四个公式： 　　sina*cosb=[sin（a+b）+sin（a-b）]/2 　　cosa*sinb=[sin（a+b）-sin（a-b）]/2 　　cosa*cosb=[cos（a+b）+cos（a-b）]/2 　　sina*sinb=-[cos（a+b）-cos（a-b）]/2 　　好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到 HYPERLINK /lemma/ShowInnerLink.htm?lemmaId=174095 \t /_blank 和差化积的四个公式 　　我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=（x+y）/2，b=（x-y）/2 　　把a，b分别用x，y表示就可以得到和差化积的四个公式： 　　sinx+siny=2sin[（x+y）/2]*cos[（x-y）/2] 　　sinx-siny=2cos[（x+y）/2]*sin[（x-y）/2] 　　cosx+c