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第一轮复习第十六课---三次函数.doc

发布:2018-10-13约3.79千字共15页下载文档
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第十六课-----三次函数 一、定义:形如的函数叫三次函数 二、基本性质: 1.定义域:R 2.值域:R 3.导函数:() 4.极值: (1)当≤0时,无极值 (2)当0时,方程=0有两根x1x2. 则当a0时,极大值为f(x1),极小值为f(x2) 当a0时,极小值为f(x1),极大值为f(x2) 5.单调性: (1)若≤0: a0时,f(x)为增函数 a0时,f(x)为减函数 (2)若0 a0时,增区间为(-∞,x1),(x2,+∞),减区间为(x1,x2) a0时,减区间为(-∞,x1),(x2,+∞),增区间为(x1,x2) 6.奇偶性:当b=d=0时,f(x)为奇函数,其余均为非奇非偶函数 7.对称中心:M 8.图像: 9.解析式(1)一般式: (2)零点式:已知三次函数的图象与轴的三个交点的横坐标,则 (3)降次式:已知函数图象与轴的一个交点的横坐标,则 (4)中心式:已知函数的对称中心为,则 10.一般地,过三次函数图像上的一点能作曲线的两条切线. 特殊情况是:过点M只能作曲线的一条切线L,且L在点M处穿过曲线. 11.函数的零点的个数:至少有一个 (1)一个:①≤0,②a0,f(x1)0;③a0,f(x2)0;④a0,f(x1)0 ⑤a0,f(x2)0 (2)二个:0,f(x1)=0或f(x2)=0 (3)三个:0, f(x1)f(x2)0 12.三次函数关于点(m,n)对称的充要条件是. 三、练习题 1.已知函数的图象上存在极值点,则的取值范围是 2.函数的极值点个数为 3.已知函数(1)当时,求函数的单调递减区间;(2)当时,求函数的图象与直线的交点个数. 4.已知在(-,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,且方程有三个根,它们分别为.(1)求c的值.(2)求证: (3)求|α-β|的取值范围. 5.设函数, ,且,若是函数的一个极值点,试比较与的大小。 6.已知函数f(x)= ,其中,设f(x)在及处取得极值,其中。(1)求证:(2)若 ,求证:过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直。 7.已知,函数的图象与函数的图象相切。 (1)求b与c的关系式(用c表示b);(2)设函数在()内有极值点,求c的取值范围。 8.已知函数,其中(1)当满足什么条件时,取得极值?(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围. 9.设函数(1)当曲线处的切线斜率(2)求函数的单调区间与极值; (3)已知函数有三个互不相同的零点0,,且。若对任意的,恒成立,求m的取值范围。 10.已知函数在区间内各有一个极值点.(1)求的最大值; (2)当时,设函数在点处的切线为,若在点A处穿过的图象(即动点在点A附近沿曲线运动,经过点A时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式. 1.已知函数的图象上存在极值点,则的取值范围是 解析:由与的图象的关系知,的图象上存在极值点对应着的判别式,从而解得:. 2.函数的极值点个数为( ) A、2个 B、1个 C、0个 D、不确定 解析:因为的判别式,由与的图象的关系知,无零点,故选C. 3.已知函数(1)当时,求函数的单调递减区间;(2)当时,求函数的图象与直线的交点个数. 解析:(Ⅰ) 的递减区间为 (Ⅱ)由得: 的图象与直线的交点个数问题化归为方程(*)解的个数问题. 令,则 ①当时,,此时与X轴只有一个交点. ②当时, ; 极大值为, 极小值为 ③当时, ; 极大值为, 极小值为 综上所述:当时,的图象与直线只有一个交点;当时,的图象与直线有三个不同交点. 4.已知在(-,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,且方程有三个根,它们分别为.(1)求c的值.(2)求证:(3)求|α-β|的取值范围. 解:(1) ∴ 令, ∵在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,∴ 又∵ (3)∵方程有3个根α、2、β, ∴设 比较系数得: ,∴α、β为方程的两根, ∴α+β=,αβ= ∴ ∵,∴ ∴. 5.设函数, ,且,若是函数的一个极值点,试比较与的大小。 解:∵, ∴,又,∴ ∴ ∴当时,,即是增函数; 当时,,即是减函数。 ∵是的一个极值点, ∴ 即 ∴, 故。 注:为三次函数,要比较与的大小 ,先利用消去一个参数,利用导数求出的单调区间,然后根据相关条件确定这两点所在的单调区间。并且利用了,得到在的单调递减区间内,即,这一点因为用得不多,学生不易想到。学生更多想到的是利用方程求得,从而得到。 6.已知函数f(x)= ,其中,设f(x)在及处取得极值,其中。(1)求证:(2)若 ,求证:过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能
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