第一轮复习第十六课---三次函数.doc
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第十六课-----三次函数
一、定义:形如的函数叫三次函数
二、基本性质:
1.定义域:R
2.值域:R
3.导函数:()
4.极值:
(1)当≤0时,无极值
(2)当0时,方程=0有两根x1x2.
则当a0时,极大值为f(x1),极小值为f(x2)
当a0时,极小值为f(x1),极大值为f(x2)
5.单调性:
(1)若≤0:
a0时,f(x)为增函数 a0时,f(x)为减函数
(2)若0
a0时,增区间为(-∞,x1),(x2,+∞),减区间为(x1,x2)
a0时,减区间为(-∞,x1),(x2,+∞),增区间为(x1,x2)
6.奇偶性:当b=d=0时,f(x)为奇函数,其余均为非奇非偶函数
7.对称中心:M
8.图像:
9.解析式(1)一般式:
(2)零点式:已知三次函数的图象与轴的三个交点的横坐标,则
(3)降次式:已知函数图象与轴的一个交点的横坐标,则
(4)中心式:已知函数的对称中心为,则
10.一般地,过三次函数图像上的一点能作曲线的两条切线.
特殊情况是:过点M只能作曲线的一条切线L,且L在点M处穿过曲线.
11.函数的零点的个数:至少有一个
(1)一个:①≤0,②a0,f(x1)0;③a0,f(x2)0;④a0,f(x1)0 ⑤a0,f(x2)0
(2)二个:0,f(x1)=0或f(x2)=0
(3)三个:0, f(x1)f(x2)0
12.三次函数关于点(m,n)对称的充要条件是.
三、练习题
1.已知函数的图象上存在极值点,则的取值范围是
2.函数的极值点个数为
3.已知函数(1)当时,求函数的单调递减区间;(2)当时,求函数的图象与直线的交点个数.
4.已知在(-,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,且方程有三个根,它们分别为.(1)求c的值.(2)求证:(3)求|α-β|的取值范围.
5.设函数, ,且,若是函数的一个极值点,试比较与的大小。
6.已知函数f(x)= ,其中,设f(x)在及处取得极值,其中。(1)求证:(2)若 ,求证:过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能垂直。
7.已知,函数的图象与函数的图象相切。
(1)求b与c的关系式(用c表示b);(2)设函数在()内有极值点,求c的取值范围。
8.已知函数,其中(1)当满足什么条件时,取得极值?(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.
9.设函数(1)当曲线处的切线斜率(2)求函数的单调区间与极值;
(3)已知函数有三个互不相同的零点0,,且。若对任意的,恒成立,求m的取值范围。
10.已知函数在区间内各有一个极值点.(1)求的最大值; (2)当时,设函数在点处的切线为,若在点A处穿过的图象(即动点在点A附近沿曲线运动,经过点A时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式.
1.已知函数的图象上存在极值点,则的取值范围是
解析:由与的图象的关系知,的图象上存在极值点对应着的判别式,从而解得:.
2.函数的极值点个数为( )
A、2个 B、1个 C、0个 D、不确定
解析:因为的判别式,由与的图象的关系知,无零点,故选C.
3.已知函数(1)当时,求函数的单调递减区间;(2)当时,求函数的图象与直线的交点个数.
解析:(Ⅰ)
的递减区间为
(Ⅱ)由得:
的图象与直线的交点个数问题化归为方程(*)解的个数问题.
令,则
①当时,,此时与X轴只有一个交点.
②当时, ;
极大值为,
极小值为
③当时, ;
极大值为,
极小值为
综上所述:当时,的图象与直线只有一个交点;当时,的图象与直线有三个不同交点.
4.已知在(-,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,且方程有三个根,它们分别为.(1)求c的值.(2)求证:(3)求|α-β|的取值范围.
解:(1)
∴
令,
∵在(-∞,0)上是增函数,在[0,2]上是减函数,∴
又∵
(3)∵方程有3个根α、2、β,
∴设
比较系数得: ,∴α、β为方程的两根,
∴α+β=,αβ=
∴
∵,∴ ∴.
5.设函数, ,且,若是函数的一个极值点,试比较与的大小。
解:∵,
∴,又,∴
∴
∴当时,,即是增函数;
当时,,即是减函数。
∵是的一个极值点,
∴ 即
∴,
故。
注:为三次函数,要比较与的大小 ,先利用消去一个参数,利用导数求出的单调区间,然后根据相关条件确定这两点所在的单调区间。并且利用了,得到在的单调递减区间内,即,这一点因为用得不多,学生不易想到。学生更多想到的是利用方程求得,从而得到。
6.已知函数f(x)= ,其中,设f(x)在及处取得极值,其中。(1)求证:(2)若 ,求证:过原点且与曲线y=f(x)相切的两条直线不可能
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