11第4章板壳问题有限元.pdf

第四章 板壳问题有限元 §4-1 引言 板壳是工程结构中应用十分广泛的结构形式，因而有限元法在板壳结构分析中占据重要地位。 由经典薄板理论的假设：（1 ）板的厚度与其他尺寸相比很小；（2 ）板的挠度与厚度相比也很小；（3）板 的中面内各点没有平行于平面的位移；（4 ）薄板中面的法线在变形后保持为法线，横向剪切变形为零。 利用上述以克希霍夫(Kirchhoff)直线法假设为基础的小挠度薄板弯曲理论，薄板弯曲问题就可简化成二 维问题，且板的变形状态完全由板中面挠度w(x, y ) 来确定。 取板的中面为xy 平面，z 轴垂直于中面如图 4-1 所示，则广义应变为  2  w  2    x  x 2    w  {}   （4-1-1）     y y 2      2 xy    w  2    xy  {｝中各个量分别表示薄板弯曲后中面在x 方向 图4- 1 的曲率、y 方向的曲率以及在x 和y 方向的扭率。 薄板的广义内力{M } 为 {M } [M x M y M xy ]T （4 -1-2 ） 其中M x 、M y 分别是垂直x 轴和y 轴的截面上单位长度的弯矩，M xy （ M yx ）是垂直于x 轴（y 轴） 截面上单位长度的扭矩。 广义的应力应变关系是 {M } [Db ]{} （4 -1-3） 式中，[Db ] 为板弯曲弹性矩阵，对于各向同性材料有   1  0 3   Et   [Db ] 2  1 0 （4 -1-4 ） 12(1)    1 0 0  2  为建立平板弯曲问题的能量泛函，还要考虑荷载和边界条件。关于边界条件有三种情况： 1、在边界S 上，给定位移w 和截面转角，即 1 w w w ， 