螺旋线与平面的交点.ppt

求 的跳跃点 可分两种情况： 1，在 中点 处 下降， 平移竖轴至 ，则直线变为 ， 余弦线变为 ，则在切点 有 2，在中点 处 上升，类似有 由 可求 即， , 最大的 ，后 ，一个交点； ，一个 或三个交点； ，三个或五个交点； ，五个或七个交点。最后再由 确定交点个数是两个数中的哪一个。 因为平移会使交点个数增加或减少2个。 关于 的求解 首先应该充分利用已经得到的结论，提高效率： 1，交点的范围 2， 把上述范围又分成若干个区间。在每个区间内有一个且只有一个交点，可以防止遗漏交点和无效劳动。 3，每个子区间内 是连续单调的，有利于求解。 二分法求交点 由于 在每个子区间是连续，严格单调的，求交点的方法很多。 最简单的方法是二分法。每次将区间一分为二，求出中点的函数值，保留两端函数值异号的子区间，继续均分，直至区间长度小于精度要求，停止。 牛顿迭代法 比较通用的另一种方法是牛顿迭代法，公式为 ，思想是以直代曲，用切线来代替割线。 已经证明牛顿迭代法具有二阶收敛速度，效率很高，牛顿法的缺点是当初始解离真实解较远时会偏离方向，可用混合法，先用二分法保证逼近真实交点，后用牛顿法加快收敛速度，做到取长补短。 仅适合本问题的好的初始解 还有一个好算法。 现在已有极大，极小值点，二点连线与水平轴的交点就是非常好的近似。 求交点的工作量和所求交点个数成正比？将无法用于实时控制？ 求交点的工作量和所求交点个数成正比，如果有成万上亿个交点，时间太长，怎么用于实时控制？即使用最先进的计算机也无法跟上交点个数的上升，似乎这是无法克服的困难 。 但仔细分析， 比较大，交点个数少，当然求解容易。但 无穷解，求解也不困难，为什么 ，交点个数非常多，问题就解决不了呢？ 解决问题还是靠创造性 当 时，无穷多解能够求解的创造性在于只选了两个代表， 后用他们可以代表无穷多解。 是准周期函数，与周期函数误差极小，也可以用选代表的方法，按照精度要求确定代表的数量，由于代表的数量并不大，因而可以用于实时控制。 求解工作量与精度成正比 例如周期近似 的两个交点相差 ，则经过 次积累，总误差小于 ，完全可以用于实时控制，这样在 个交点中选一个代表，总数只有6000多个代表，目前计算机可以胜任。如果精度更低，只要控制积累就可以一个交点代表更多的交点 ，这时求交点的工作量不与交点个数成正比，而与精度成正比。只要精度要求不变，则求解工作量不变。 全部误差积累总和 这个问题的总误差是有界的。由于直线在上升过程中始终与余弦线极大值点左边先相交，然后再与极大值右边相交，因此解总在极大值前，总误差 ，整个余弦线误差积累总和 。 既然如此，控制每段长度，则多段总积累误差可以满足精度要求。 从上图可知 误差与 是同阶无穷小量 最差是 的同阶无穷小量。 显然当 时，即相切时误差最大 右边与 同阶无穷小， 左边与 同阶无穷小， 故， 与 是同阶无穷小。 谢谢 * * 东南大学 朱道元 问题（1994年美国数模竞赛题） 帮助一家生物技术公司就位于空间中一般位置的一条螺旋线和一个平面交点的“实时”定位设计、证明、编程、并测试检验一个数学方法。 螺旋线和平面交点示意图 螺旋线的一段可以表示，例如一段螺旋状的弹簧或化学仪器或医疗仪器中的一段管状物，如图。 其他