2016年全国硕士研究生入学考试数学（一）.doc

2006年全国硕士研究生入学考试数学（一） 一、填空题 （1）. （2）微分方程的通解是 . （3）设是锥面（）的下侧，则 . （4）点到平面的距离= . （5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则= 16 . （6）设随机变量与相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则= . 二、选择题 （7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则 （A） （B） （C） （D） 【 】 （8）设为连续函数，则等于 （A） （B） （C） （C） 【 】 （9）若级数收敛，则级数 （A）收敛. （B）收敛. （C）收敛. （D）收敛. 【 】 （10）设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是 （A）若，则. （B）若，则. （C）若，则. （D）若，则. 【 】 （11）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是 （A）若线性相关，则线性相关. （B）若线性相关，则线性无关. （C）若线性无关，则线性相关. （D）若线性无关，则线性无关. 【 A 】 （12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则 （A） （B） （C） （D） 【 B 】 （13）设为随机事件，且，则必有 （A） （B） （C） （D） 【 】 （14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且 （A） （B） （C） （D） 【 】 三 解答题 15 设区域D=,计算二重积分 。 16 设数列满足 。 求: (Ⅰ)证明存在,并求之 。 (Ⅱ)计算 。 17 将函数展开成x的幂级数 。 18 设函数满足等式 (Ⅰ)验证. (Ⅱ)若. 19 设在上半平面D=内,数是有连续偏导数,且对任意的t0都有. 证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有 20 已知非齐次线性方程组 Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩 Ⅱ求的值及方程组的通解 21 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得. 22 随机变量x的概率密度为为二维随机变量(X,Y)的分布函数. (Ⅰ)求Y的概率密度 (Ⅱ) 23 设总体X的概率密度为, 为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值,求的最大似然估计. 题解 高数 填空题 （1）= 2 （） （2）微分方程的通解是，这是变量可分离方程。 （3）设是锥面的下侧，则 补一个曲面上侧 ∴ （为锥面和平面所围区域） （为上述圆锥体体积） 而 （∵在上：） （4） 选择题 （7）设函数具有二阶导数，且，，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分。若，则 解答题 （18）设函数内具有二阶导数，且满足等式 （I）验证 （II）若 求函数 证：（I） （II）令  （19）设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意都有 证明：对D内任意分段光滑的有向简单闭曲线L， 都有 证：把 得： 令 ，则 再令 所给曲线积分等于0的充分必要条件为 今 要求 成立，只要 我们已经证明，，于是结论成立。 线代 (5) 设A= 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|= . -1 2 解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得 |B||A-E|=|2E|=4, 计算出|A-E|=2,因此|B|=2. (11)设?1,?2,…,?s 都是n维向量，A是m(n矩阵，则（ ）成立. (A) 若?1,?2,…,?s线性相关,则A?1,A?2,…,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,…,?s线性相关,则A?1,A?2,…,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,…,?s线性无关,则A?1,A?2,…,A?s线性相关. (D) 若?1,?2,…,?s线性无关,则A?1,A?2,…,A?s线性无关. 解: (A) 本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解. 若?1,?2,…,?s线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得 c1?1+c2?2+…+cs?