2006年全国硕士研究生入学考试数学二.doc

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二） 一、填空题 （1）曲线的水平渐近线方程为 . （2）设函数在处连续，则 . （3）广义积分 . （4）微分方程的通解是 . （5）设函数由方程确定，则= . （6）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则= . 二、选择题 （7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则 （A） （B） （C） （D） 【 】 （8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则是 （A）连续的奇函数. （B）连续的偶函数 （C）在间断的奇函数 （D）在间断的偶函数. 【 】 （9）设函数可微，，则等于 （A）. （B） （C） （D） 【 】 （10）函数满足一个微分方程是 （A） （B） （C） （D） （11）设为连续函数，则等于 （A） （B） （C） （D） 【 】 （12）设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是 （A）若，则. （B）若，则. （C）若，则. （D）若，则. 【 】 （13）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是 （A）若线性相关，则线性相关. （B）若线性相关，则线性无关. （C）若线性无关，则线性相关. （D）若线性无关，则线性无关. 【 】 （14）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则 （A） （B） （C） （D） 三 解答题 15．试确定A，B，C的常数值，使得，其中是当 。 16． 17． 18． 19． 20 设函数满足等式 (Ⅰ)验证. (Ⅱ)若. 21 已知曲线的方程为 （Ⅰ）讨论的凹凸性； （Ⅱ）过点（-1，0）引的切线，求切点，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与（对应于的部分）及轴所围成的平面图形的面积。 22 已知非齐次线性方程组 Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩 Ⅱ求的值及方程组的通解 23 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得. 题解 高数 一、填空题 （1）曲线的水平渐近线方程为 （2）设函数 在x=0处连续，则a= （3）广义积分 （4）微分方程的通解是 （5）设函数确定，则 当x=0时，y=1， 又把方程每一项对x求导， 二、选择题 （7）设函数具有二阶导数，且为自变量x在点x0处的增量，，则[A] （A） （B） （C） （D） 由严格单调增加 是凹的 即知 （8）设是奇函数，除外处处连续，是其第一类间断点，则 是[B] （A）连续的奇函数 （B）连续的偶函数 （C）在x=0间断的奇函数 （D）在x=0间断的偶函数 （9）设函数则g(1)等于[C] （A） （B） （C） （D） ∵ ， （10）函数满足的一个微分方程是[D] （A） （B） （C） （D） ∵ 特征根为1和-2，故特征方程为 （11）设为连续函数，则等于[C] （A） （B） （C） （D） （12）设均为可微函数，且在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是[D] （A）若 （B）若 （C）若 （D）若 今 代入(1) 得 今 故选[D]  三、解答题 （15）试确定A，B，C的常数值，使其中是当. 解：泰勒公式代入已知等式得 整理得 比较两边同次幂函数得 B+1=A ① C+B+=0 ② ③ 式②-③得 代入①得 代入②得 （16）求 解：原式= （17）设区域 计算二重积分 解：用极坐标系 （18）设数列满足， 证明：（1）存在，并求极限 （2）计算 证：（1） 单调减少有下界 根据准则1，存在 在两边取极限得 因此 （2）原式 离散散不能直接用洛必达法则 先考虑 用洛必达法则 （19）证明：当时， 证：令 只需证明单调增加（严格） 单调减少（严格） 又 故单调增加（严格） 得证 （20）设函数内具有二阶导数，且满足等式 （I）验证