基于拓扑马蹄混沌动力学研究进展.PDF

第１０卷第４期２０１２年１２月 动力 学 与控 制 学报 Ｖｏｌ．１０Ｎｏ．４ １６７２６５５３／２０１２／１０ ／２９３６ Ｄｅｃ．２０１２ ⑷ ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＤＹＮＡＭＩＣＳＡＮＤＣＯＮＴＲＯＬ 基于拓扑马蹄的混沌动力学研究进展 １ ２ 李清都 　杨晓松 （１．重庆邮电大学非线性电路与系统研究所，重庆　４０００６５）（２．华中科技大学数学与统计学院，武汉　４３００７４） 摘要　拓扑马蹄理论是混沌研究的重要分支，是迄今为止能够达到数学严格性的核心混沌研究方法之一． 基于简明的空间几何化思想，拓扑马蹄为非线性系统复杂行为的数值与理论研究搭建了一座桥梁，从而人 们可以进行混沌行为的不变集刻画、存在性证明、拓扑熵估计、以及内在机制揭示等一系列研究．本文希望 通过综述当今基于拓扑马蹄的混沌研究最新进展，使研究者深入了解这套功能强大的方法体系，并能加以 应用．本文首先从人们所熟知的Ｓｍａｌｅ马蹄开始介绍现代拓扑马蹄理论的发展历程；然后介绍了当今的拓扑 马蹄引理，讨论了拓扑马蹄存在条件和相应的搜寻方法；最后，利用拓扑马蹄研究的工具箱ＨｓＴｏｏｌ，以经典 离的散Ｈéｎｏｎ映射和著名的Ｓａｉｔｏ电路为例，展示其拓扑马蹄的研究过程． 关键词　混沌，　拓扑马蹄，　符号动力学，　拓扑熵，　庞加莱映射 析其本质，进而引出现代拓扑马蹄理论． 引言 混沌动力学一般是指在动力学系统中表现出 来的复杂的、貌似无规则的长期的随机行为，它遵 循简单的，确定性的规则．在动力学系统中这种行 为是随处可见的，例如电路，震荡化学反应，流体动 力学，行星主体的运动等． 混沌的特点是对初始条件的敏感依赖性，也就 图１　Ｓｍａｌｅ马蹄以及其中的横条和竖条 Ｆｉｇ．１　Ｔｈｅｓｍａｌｅｈｏｒｓｅｓｈｏｅａｎｄｉｔｓｖｅｒｔｉｃａｌａｎｄｈｏｒｉｚｏｎｔａｌｓｔｒｉｐｓ 是说一个动力系统若从两个初始状态开始演化，不 管两者初值有 ２ 我们知道，一个同胚映射，如果存在 Ｓｍａｌｅ马 ｆ：Ｄ ｆ（Ｄ） Ｒ 多接近，但经过一段 →  ２ 时间后，两者之间表现出明显不同．这种性质在自 蹄，那么该映射必然混沌．考虑一个正方形Ｄ Ｒ，  然界、工程学中是普遍存在的．著名的蝴蝶效应就 以及微分同胚．如果ｆ将 Ｄ映射成图１所示的图 是个例子，这正好解释了为什么提前几天的天气预 形，即，首先Ｄ沿竖直方向以小于１／２的比例收缩， 测不能准确． 然后水平方向以大于２的比例拉伸，最后折叠成马 从几何方面来看，在混沌的一系列的数值特征 蹄形状覆盖到Ｄ上，那么我们称ｆ在Ｄ上有Ｓｍａｌｅ ［１］ 中，由Ｓ．Ｓｍａｌｅ发现的马蹄是最重要的特征 ．现 马蹄．在处理实际问题时，Ｄ的形状并不要求一定 在的马蹄和它的相关理论已发展成非线性学科的 是正方形，ｆ（Ｄ）也不一定像图１那样规则，只要Ｄ 一个重要分支，并且在很多学科中都有广泛的应 和ｆ（Ｄ）能保持像图１那样的相对位置关系（也就 用，包括机械系统、非线性电路、神经