考研真题 南开大学高等代数历年考研真题汇编.docx
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目录
2004年南开大学高等代数考研真题
2005年南开大学高等代数考研真题
2006年南开大学高等代数考研真题
2007年南开大学高等代数考研真题
2008年南开大学802高等代数考研真题
2009年南开大学802高等代数考研真题
2010年南开大学802高等代数考研真题
2011年南开大学802高等代数考研真题
2012年南开大学804高等代数考研真题
2014年南开大学高等代数考研真题（回忆版）
内容简介
考研真题是每个考生复习备考必不可少的资料，通过研究历年真题能洞悉考试出题难度和题型，了解常考章节与重要考点，有效指明复习方向。
为了帮助参加南开大学“高等代数”考试科目的考生复习备考，精心编写了配套辅导用书（手机端及电脑端均可同步使用）：
1．南开大学高等代数历年考研真题汇编
2．南开大学高等代数考研全套资料
本书收录了南开大学“高等代数”2004～2012、2014年的考研真题，其中2014年试题为回忆版，仅供参考。所有试题均没有提供答案。
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2004年南开大学高等代数考研真题
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2012年南开大学804高等代数考研真题
2014年南开大学高等代数考研真题（回忆版）
2004年南开大学高等代数考研真题
2005年南开大学高等代数考研真题
2006年南开大学高等代数考研真题
2007年南开大学高等代数考研真题
2008年南开大学802高等代数考研真题
一、计算题（每题12分，共60分，请写出必要的计算步骤）
1设n阶实矩阵A＝（aij）n×n满足条件
（1）aij＞0，i＝1，2，…，n；
（2）aij＜0，i≠j；
（3），k＝1，2，···，n。
试求A的秩r（A）。
2设A＝（aij）n×n为数域P上的n阶方阵，定义Pn×n上的线性变换T使T（X）＝AX，X∈Pn×n，试求T的迹和行列式。
3设P为数域，c0，c1，…，cn－1∈P，令
试求A的最小多项式。
4设V为数域P上的3维线性空间，已知V上线性变换T在基ε1，ε2，ε3下的矩阵为
试求V的一组基使得T在该基下的矩阵为
5设n阶实矩阵P满足P1＝P2，试求出P的所有可能的特征值。
二、（20分）设A1，A2，…，Am为n阶方阵，且r（A1A2…Am）＝r（Am）。证明：对任何1≤j，k≤m，齐次线性方程组AjAj＋1…AmX＝0与AkAk＋1…AmX＝0同解。
三、（20分）设S，T都是半正定实对称n阶方阵，证明：det（S＋T）≥（detS＋detT）/2。
四、（15分）设A，A－In都是n阶实对称正定矩阵，证明：In－A－1也是正定矩阵。
五、（15分）设f（x，y）为线性空间V上的非退化双线性函数，证明：对于任何g∈V*，存在唯一的α∈V，使得g（β）＝f（α，β），?β∈V。
六、（10分）设T为欧几里得空间V上的线性变换，满足条件
?x，y∈V，（Tx，y）＝－（x，Ty）或（Tx，y）＝（x，Ty）至少有一个成立。
证明：T或为对称变换或为反对称变换。
七、（10分）设A，B为n阶复方阵，C＝AB－BA，证明：如果C与A可交换，则C为幂零矩阵。
2009年南开大学802高等代数考研真题
2010年南开大学802高等代数考研真题
2011年南开大学802高等代数考研真题
一、（20分）设A为秩为1的n阶复方阵，A的迹tr（A）＝a≠0，试求出A的所有特征值（写出重数）。
二、（20分）设V为4维实线性空间，ε1，ε2，ε3，ε4为一组基，已知V上线性变换T在基ε1，ε2，ε3，ε4下的矩阵为
（1）试求出T的特征值与特征向量；
（2）试分别求出T的核kerT与象imT的一组基与维数。
三、（20分）设实矩阵
A＝
试将A写成一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵T的乘积。
四、（20分）设A为实反对称矩阵，证明：E－A10一定是正定矩阵。
五、（15分）设V为一个欧氏空间，T为V到V的一个映射，满足条件：|Tα|＝|α|，?α∈V，试问T是否一定是V上的正交变换？说明理由。
六、（15分）设A，B为数域P上的n阶方阵，满足方程aA2＋bAB＋cB