减少解析几何计算量的十种方法.doc

PAGE 16 减少解几试题计算量的十种方法 —高考对策之一 在数学试卷中，解析几何题的繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题. 其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的.常见的策略是： （1）设而不求. 【题1】（湖北黄冈，元月考，10题） 已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是 ( ) A.6x－5y－28=0 B.6x+5y－28=0 C.5x+6y－28=0 D.5x－6y－28=0 【分析】如图，椭圆的右焦点既是△BMN的重心，容易求出边MN的中点 坐标，那么求直线l的方程，关键在求该直线的斜率. 若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定 理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的.更好的方法是： 图1【解析】由.∴椭圆上顶点 图1 B（0，4）,右焦点F（2,0）.为△BMN的重心，故线段MN的中点为C（3，-2）. 设直线l的斜率为k.，点在椭圆上，∴ 所求直线方程为，选A. 【评注】我们用参数设置了M,N两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求. （2）使用特值 【题2】（湖北重点中学4月联考，理科8题）在离心率为的双曲线中，F为右焦点，过F点倾斜角为60゜的直线与双曲线右支相交于A,B两点，且点A在第一象限，若则=（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【分析】按常规求m值，必先求向量之长.由于双曲线的 方程无法确定，又必须使用参数，其计算量之大是让人望而生畏的. 注意到本题最终要求的是比值，根据相似原理，比值只与图形的形 状有关.也就是说，无论将原图放缩多少倍，都不影响最终的计算结果. 所以我们可以通过取特值，让方程具体化. 【解析】.不妨设，双曲线 图2方程为：,其右焦点，设，代入双曲线方程： 图2 ，故选C. （3）平几给力 【题3】（2011.武汉四月调考.15题）过圆C：作一动直线交圆C于两点P、R，过坐标原点O作直线ON⊥PM于点N，过点P的切线交直线ON于点Q，则= 。 【分析】与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件 中既有垂线又有切线，容易构成直角三角形，故求两向量的数量积 容易想到直角三角形中成比例的线段. 【解析】如图4,连OP,则OP⊥PQ.但是OQ⊥PR于N,根据 直角三角形的射影性质有： ∴ 图3即. 图3 （4）减少参数 【题4】（北京西城元月考.13题）双曲线的渐近线方程为 若双曲线的右顶点为，过的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且，则直线的斜率为 【分析】第一空，简单；难点是第二问. 按常规，为求直线的斜率，必先确定P或Q的坐标.但由现有 条件却确定不了，因此退而求P,Q两坐标之间的关系.但是两点的坐标有4个未知量，计算太过繁杂.故考虑减少未知量，使运算量减半. 【解析】设.当时， .设直线.令x=y,得 令x=-y,得 图4于是： 图4 得k=3. 得k=3. 【别解】（巧用中点公式）如图设P（a,a）,则P关于A（1,0）的对称点为R（2-a,-a）, AR的中点 符合所设条件且在直线y=-x上， （5）回归定义 【题5】（山西师大附中，元月考，8题）设是双曲线的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点），且，则双曲线的离心率是（ ） 【分析】根据向量加法的平行四边形法则， .可知为直角三角形. 这就为用定义法求离心率创造了条件. 【解析】不妨设双曲线的半焦距c=1,.令 ， 图5 图5 于是，选D （6）正难则反 【题6】（北京海淀，5月考，7题）若椭圆：（）和椭圆：（）的焦点相同且.给出如下四个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点； ②； ③； ④ .其中，所有正确结论的序号是（ ） A．②③④ B. ①③④ C．①②④ D. ①②③ 【分析】各选项都需鉴别3个命题，太繁了. 此外，正面论证哪3个命题正确，太费事了.于是将原命题转换为：…其中不正确结论的序号是： A. ① B. ② C.③ D.④ 此外，4个选项中，最容易用特值否定的是②，故有 【解析】构造椭圆 ，故结论②不成立，选B. 【评注】以上的解题方法，简单得