2021届二次函数压轴难题含答案解析.pdf

2021年中考数学压轴题

如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在

x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物

线于点M．

（1）求a的值；

（2）若PN：MN＝1：3，求m的值；

（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P，将线段OP绕点O逆时针

11

3

旋转得到OP，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP、BP，求AP+BP的最小值．

222222

【解答】解：

（1）∵A（4，0）在抛物线上，

1

∴0＝16a+4（a+2）+2，解得a=−；

2

13

2+

（2）由（1）可知抛物线解析式为y=−xx+2，令x＝0可得y＝2，

22

∴OB＝2，

∵OP＝m，

∴AP＝4﹣m，

∵PM⊥x轴，

∴△OAB∽△PAN，

2

∴=，即=，

44−

1

∴PN=（4﹣m），

2

∵M在抛物线上，

13

2+

∴PM=−mm+2，

22

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∵PN：MN＝1：3，

∴PN：PM＝1：4，

131

2+

∴−mm+2＝4×（4﹣m），

222

解得m＝3或m＝4（舍去）；

39

（3）在y轴上取一点Q，使=，则Q（0，），如图，

22

2

由（2）可知P1（3，0），且OB＝2，

23

∴==，且∠P2OB＝∠QOP，2

2

2

∴△P2OB∽△QOP，2

23

∴=，

2

2

93

∴当Q（0，）时QP2=BP，2

22

3

∴AP2+BP＝AP+QP≥AQ，222

2

∴当A、P2、Q三点在一条线上时，AP+QP有最小值，22

9

∵A（4，0），Q（0，），

2

√292√1453