2021届二次函数压轴难题押题附答案解析.pdf

2021年中考数学压轴题

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax﹣4ax﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点，且2

OB＝3OA，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E．

（1）求该抛物线的解析式，并直接写出顶点D的坐标；

1

（2）如图2，直线y=−+n与抛物线交于G，H两点，直线AH，AG分别交y轴负

2

半轴于M，N两点，求OM+ON的值；

（3）如图1，点P在线段DE上，作等腰△BPQ，使得PB＝PQ，且点Q落在直线CD

上，若满足条件的点Q有且只有一个，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax﹣4ax﹣6与x轴交于A，B两点，OB＝3OA2

∴设A（﹣t，0），B（3t，0）（t＞0）

1

2

∴{+4−6=0解得：{=2

2

9−12−6=0

=2

11

22

∴抛物线解析式为y=﹣2x﹣6=（x﹣2）﹣8x

22

∴顶点D的坐标为（2，﹣8）

（2）∵t＝2

∴A（﹣2，0）

11

设抛物线上的点G（x1，x12﹣2x1﹣6），H（x，x222﹣2x2﹣6）

22

1

∵直线y=−+n与抛物线交于G，H两点

2

1

=−+

∴{2整理得：x2﹣3x﹣12﹣2n＝0

1

2

=−2−6

2

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∴x+x＝3

12

设直线AG解析式为y＝kx+b，即N（0，b）（b＜0）

∴{−2+=0①

1

2

+=−2−6②

1211

①×x得：﹣2kx+bx＝0③

111

②×2得：2kx1+2b＝x12﹣4x1﹣12④

③+④得：（x1+2）b＝（x+2）（x﹣6）11

∵点G与A不重合，即x1+2≠0

∴b＝x1﹣6即ON＝﹣b＝6﹣x1

同理可得：OM＝6﹣x2

∴OM+ON＝6﹣x+6﹣x＝12﹣（x+x）＝12﹣3＝9

2112

（3）如图，过点C作CF⊥DE于点F，以点P为圆心、PB为半径作圆

∵PB＝PQ

∴点Q在⊙P上

∵有且只有一个点Q在⊙P上又在直线CD上

∴⊙P与直线CD相切于点Q

∴PQ⊥CD

由（1）得：B（6，0），C（0，﹣6），D（2，﹣8）

∴CF＝2，DF＝﹣6﹣（﹣8）＝2，即CF＝DF

∴∠CDF＝45°

∴△DPQ为等腰直角三角形

∴PD=2PQ

√

∴PD＝2PQ＝2PB222

设P（2，p）（﹣8≤p≤0）

2222

+p

∴PD＝p+8，PB＝（6﹣2）＝16+p

∴（p+8）＝2（16+p）22

解得：p＝8﹣46，p＝8+46（舍去