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非线性系统中随机响应的计算方法 姓名：李振伟 学院：机械与动力工程学院 学号：1080209105 【摘要】 非线性结构随机振动响应分析的研究有着广泛的工程背景和重要 的理论意义与学术价值。但由于该问题的研究难度很大，迄今为此还没 有一个普遍适用的方法，已有的研究大多针对单自由度或很少自由度， 且限于平稳随机过程的近似计算。因而开展非线性系统非平稳随机响应 的计算方法研究并提高近似计算的精度很有必要。 本文主要给出了求解在高斯白噪声激励下，非线性系统非平稳随机 响应的一种方法:即将确定性微分方程中进行有效的Runge-Kuta算法， 成功地推广到随机激励下非线性非平稳随机响应的计算。先将非线性系 统统计线性化，为考虑等效线性化系统的时变性，再假设等效线性化参 数在一系列微小时间间隔内保持不变，而在这些微小时间间隔的分界点 突然改变，用Runge-Kuta法得到了系统响应的递推关系. 【关键词】 噪声激励，振子，Runge-Kutta法，高阶线性化法。 【引言】 振动现象可分为两大类:确定性振动与随机振动。确定性振动是指 那些运动时间历程可以用确定性函数来描述的振动。随机振动则不同， 需要借助统计特性来描述。 确定性振动的研究已经逐渐趋于成熟，由于非线性因素在任何振动 系统中都不同程度的存在，这些非线性因素来自系统的物理、几何、耗 散以及运动等方面，而由于激励、结构特性等的随机性，使工程实际中 存在着大量的随机问题，因而非线性随机振动的研究和工程应用是当前 振动研究领域中一个重要而又令人注目的研究方向。 随着 科 学 技术的发展，非线性随机振动已从经典的分析方法逐 渐走向理论利用和数值分析之路。 实际工程中，几乎所有机械系统都在某种程度上呈现出非线性性 态。系统的非线性可以表现为非线性恢复力，非线性阻尼或非线性惯性。 在很多场合下，对系统进行线性分析，往往就能满足实际工程的需要; 但随着工程要求的提高，对系统的本质非线性现象，如跳跃，自激振动， 混沌等，再用用线性理论预测其随机响应，往往会得出错误的结论。因 此，研究非线性系统的随机振动，发展预测非线性系统响应的方法，揭 示非线性系统在随机扰动下可能发生的现象，具有十分重要的意义。 上世 纪 6 0年代初，非线性系统随机振动的研究开始受到重视， 伊藤随机微分方程及其解过程的Narkov特性得到应用，FPK方程法发展 成了非线性随机反应分析的一种精确方法。同时随机滤波理论也有了发 展。由于FPK方程法可以直接求解反应的概率推移密度函数，具有理论 上的完美性，引起了众多研究者的兴趣。但是，滞后系统，特别是多自 由度系统的FPK方程求解至今仍未找到合适的方法.从工程应用的需要 出发，上世纪70, 80年代发展和完善的各种滞后特性的微分表达式，使 得应用一些近似解法求解滞后系统地震反应成为一个热点。 近 30 年 来，非线性随机振动已经成为随机振动理论研究的重点。 在众多学者的长期努力下，己发展了许多预测非线性随机响应的方法， 主要是FPK方程方法，还有一类是从确定性非线性振动理论方法推广而 来的，包括等效线性化法、摄动法等等。随机平均法是上述两者结合的 产物。此外，还有等效非线性系统法，矩函数微分方程法及各种截断方 案，拟静态法，维纳一埃尔米特展式法，以及数字模拟法等。 在 发 展 预测非线性系统随机响应的同时，学者们也对一些经典 的非线性系统的随机响应作出研究。其中研究最多的是杜芬振子，范德 波振子及滞迟系统。通常是假定在没有随机激励时非线性系统处于稳定 的平衡状态，所研究的是在小随机干扰下偏离这个平衡状态的随机振 动。 虽然 目前 已经有许多预测非线性系统随机响应的方法，但没有一 个是十分满意的，尤其是对多自由度系统。在对随机扰动下非线性系统 的定性性态方面，了解甚少，特别在系统存在本质非线性现象时。因