补充内容-极坐标.ppt

确定平面上点的位置，除了已学过的直角坐标外，常用的还有极坐标，下面介绍平面极坐标以及与直角坐标的关系 补充内容：极坐标 直角坐标系 数 轴 空间直角坐标系 平面直角坐标系 R （x,y) （x,y,z) 建系是为了定点的位置，因此，在所建的坐标系中，应满足： （1）任意一点都有确定的坐标与它对应； （2）依据一个点的坐标就能确定该点的位置。 从这向北 1000米。 请问：去xx 怎么走？ 请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？ 从这向北走1000米！ 出发点 方向 距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。 一、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。 这样就建立了一个极坐标系。 X O 二、极坐标系内一点的极坐标的规定 X O ? ? 对于平面上任意一点M，用 ? 表示线段OM的长度，用 ? 表示从OX到OM 的角度，? 叫做点M的极径， ?叫做点M的极角，有序数对（?，?）就叫做M的极坐标。 特别强调：?表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；?表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。 M 例题：说出下图中各点的极坐标 请在上图中描出点 (2, ), (2, ),(2, ) ①平面上一点的极坐标是否唯一？ ② 坐标不唯一是由谁引起的？ ③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ 想一想？ 特别规定： 当M在极点时，它的极坐标为______________。 ( 0, ? ) ?∈R 一般地,如果不作特殊说明,我们取?∈[0,2π) 练习: 在极坐标系中,已知两点A(3, ), B(1, ),求AB两点间的距离。 X O B A 三、极坐标系下点的极坐标 O X P M 探索点M（3，?/4）的 所有极坐标 极径是正的时候： 四、极坐标系下点与它的极坐标对应情况 [1]给定(?,?),就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。 原因在于：极角有无数个。 O X P M (ρ,θ)… 一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)都可以作为它的极坐标. 如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤ π, 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了. 五、极坐标系与直角坐标的互化 O x y θ ) 3 , 1 ( M 问题：若点M的直角坐标为 用极坐标如何表示？ 在直角坐标系中, 以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,两种坐标系中取相同的长度单位。 设点M的极坐标为(ρ,θ) 点M的极坐标为(2， ) θ ) , ( M ρ θ 极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ) x=ρcosθ, y=ρsinθ 直角坐标化为极坐标： 极坐标化为直角坐标： 思考：极坐标如何化为直角坐标？ O x y 例1. 将下列各点的极坐标化成直角坐标. 例2. 将下列各点的直角坐标化成极坐标. 变式：若极角 例3、将y2+x2-2x-1=0化极坐标方程。 变式：极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是什么？ 练习：1)将ρ=cosθ化为直角坐标方程。 2)将y2=4x化为极坐标方程。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式？ [1]建立一个极坐标系需要哪些要素 极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极径为正数；极角有无数个。 有。（ρ，2kπ+θ） 小结