淮阴工学院高数上期末考试题.doc

一、单项选择题.（A） （B）（C） （D）不可导.. （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小； （D）是比高阶的无穷小. 若，其中在区间上二阶可导且，则（ ）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。（A） （B）（C） （D）.二、填空题 . . . .三、解答题设函数由方程确定，求以及.设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.求微分方程满足的解. 四、 解答题（本大题10分）已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D.求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） . 6..7. . 8..三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）解：方程两边求导 ，解：解：解：由，知。 ，在处连续。解： ，四、 解答题（本大题10分）解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程： 解出特征根：其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分）解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）证明：故有： 证毕。证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在上可导。，且由题设，有，有，由积分中值定理，存在，使即综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在和，使及，即. 高等数学I 解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)当时，都是无穷小，则当时（ D ）不一定是无穷小. (A) (B) (C) (D) 极限的值是（ C ）.（A） 1 （B） e （C） （D） 在处连续，则a =（ D ）.（A） 1 （B） 0 （C） e （D） 设在点处可导，那么（ A ）.（A） （B） (C) （D） 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）极限的值是 .由确定函数y(x)，则导函数 .直线过点且与两平面都平行，则直线的方程为 .求函数的单调递增区间为 （－￥，0）和（1，+￥ ） .三、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）计算极限.解：已知：，，，求。解： ，设在[a，b]上连续，且，试求出。解：求 解：四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共32分）求 . 求函数 的极值与拐点.解：函数的定义域（－￥，+￥） 令得 x 1 = 1, x 2 = -1 x 1 = 1是极大值点，x 2 = -1是极小值点极大值，极小值令得 x 3 = 0, x 4 = , x 5 = -x(-￥,-)(-,0)(0, )(,+￥)－+－+故拐点（-，-），（0，0）（，）求由曲线与所围成的平面图形的面积. 设抛物线上有两点，，在弧A B上，求一点使的面积最大.解：六、证明题（本大题4分）设，试证. 证明：设，，，因此在（0，+￥）内递减。在（0，+￥）内，在（0，+￥）内递减，在（0，+￥）内，即亦即当 x0时， 。高等数学I A一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在