专题19函数与面积最值问题-【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）.pdf

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题18函数与面积最值问题

经典例题

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【例1】．如图，抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．直线l与

抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，3）．

（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；

（2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接PA、PD，求当△PAD面积最大时点P的坐标及该面

积的最大值；

（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．

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（2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，﹣m+m+3），则K（m，m+1）．因为S

△PAD＝•（xD﹣xA）•PK＝3PK，所以PK的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PK的最大值即可．

（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），设DT交y轴于点Q，则

∠ADQ＝45°，作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，

分别求出直线DT，直线DT′的解析式即可解决问题．

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【解析】（1）∵抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，

∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），

∵D（4，3）在抛物线上，

∴3＝a（4+2）×（4﹣6），

解得a＝﹣，

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∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x+x+3，

∵直线l经过A（﹣2，0）、D（4，3），

设直线l的解析式为y＝kx+m（k≠0），

则，

解得，，

∴直线l的解析式为y＝x+1；

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（2）如图1中，过点P作PK∥y轴交AD于点K．设P（m，﹣m+m+3），则K（m，m+1）．

∵S△PAD＝•（xD﹣xA）•PK＝3PK，

∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大，

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∵PK＝﹣m+m+3﹣m﹣1＝﹣m+m+2＝﹣（m﹣1）+，

∵﹣＜0，

∴m＝1时，PK的值最大，最大值为，此时△PAD的面积的最大值为，P（1，）．

（3）如图2中，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT，则T（﹣5，6），

设DT交y轴于点Q，则∠ADQ＝45°，

∵D（4，3），

∴直线DT的解析式为y＝﹣x+，

∴Q（0，），

作点T关于AD的对称点T′（1，﹣6），

则直线DT′的解析式为y＝3x﹣9，

设DQ′交y轴于点Q′，则∠ADQ′＝45°，

∴Q′（0，﹣9），

综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，﹣9）．

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【例2】．抛物线y＝ax+c的顶点为C（0，1），与直线y＝kx+3（k为常数）相交于A（x1