解对初值的连续性和可微性定理.docx
?dy
?
§3.3解对初值的连续性和可微性定理
?f(x,y)
在初值问题?dx 中我们都是把初值(x,y
)看成是固定的数值，然后再去讨论方程
???y
?
?
0
0 0
y(x)
0
dy?f(x,y)经过点(x,y
dx 0 0
)的解.但是假如(x,y
0 0
)变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是
说初值问题的解不仅依赖于自变量,还依赖于初值(x,y
0 0
).例如：f(x,y)?y时,方程y?y的解是
y?cex,将初始条件y(x
0
)?y
0
带入,可得y?y
0
ex?x0.很显然它是自变量和初始条件(x,y
0 0
)的函
?dy
?f(x,y)
?数.因此将对初值问题?dx 的解记为y??(x,x,y
?
),它满足y
??(x
,x,y).
??y
?
0
?y(x)
0
0 0 0
0 0 0
当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质.
1、解关于初值的对称性
设方程(3.1)满足初始条件y(x
0
)?y
0
的解是唯一的,记为y??(x,x,y
0 0
),则在此关系式
中,(x,y)与(x,y
0 0
)可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式
y ??(x
0 0
,x,y)
证明在方程(3.1)满足初始条件y(x
)?y
的解的存在区间内任取一点,显然y
??(x,x,y
),则
0 0 1 1 0 0
由解的唯一性知,过点(x,y
)的解与过点(x,y
)的解是同一条积分曲线,即此解也可写为
1 1 0 0
y??(x,x,y)
并且,有y
1
??(x
1
,x,y
).又由(x,y
)是积分曲线上的任一点,因此关系式y
??(x
,x,y)对该积分
0 0 1 1 1 1 0 0
曲线上的任意点均成立.
2、解对初值的连续依赖性
由于实际问题中初始条件一般是由实验测量得到的，肯定存在误差.有的时候误差比较大，有的
时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当(x,y
0 0
)变动很小的时候，相应的
方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：
引理：如果函数f(x,y)于某域内连续，且关于满足Lipschtiz条件（Lipschtiz常数为），则对方程
（3.1）的任意两个解?(x)及?(x)，在它们公共存在的区间内成立着不等式
|?(x)??(x)|?|?(x
0
)??(x
0
)|eL|x?x0| （3.17）
其中为所考虑区域内的某一值.
证明设?(x),?(x)于区间a?x?b上均有定义,令
V(x)?[?(x)??(x)]2,a?x?b
则
V?(x)?2[?(x)??(x)][f(x,?)?f(x,?)]
于是 V?(x)?|V?(x)|?2|?(x)??(x)||f(x,?)?f(x,?)|?2LV(x)
V?(x)e?2Lx?2LV(x)e?2Lx?0
d
从而 (V(x)e?2Lx)?0
dx
所以,对?x
0
?[a,b],有
V(x)?V(x
0
)e2L(x?x
),x
0
?x?b
0对于区间a?x?x
0
0
,令?x?t,并记?x
0
?t,则方程(3.1)变为
0
dy??f(?t,y)
dx
而且已知它有解y??(?t)和y??(?t).
类似可得V(x)?V(x
0
)e2L(x
?x),a?x?x
00
0
因此, V(x)?V(x
0
)e2L|x?x|,a?x?b,a?x ?b
00
0
两边开平方即得(3.17).
利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖定理
假设f(x,y)在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件，如果(x,y
0 0
)?G，初值问题
?dy
?
?dx
?f(x,y)
有解y??(