《分离变量法1》PPT课件.pptx

第二章 分离变量法 第一讲;上节课内容回顾;;三种典型的偏微分方程;定解条件;A、 弦振动方程的边界条件;B、热传导方程的边界条件(以S表示某物体V 的边界);本节课内容;1、偏微分方程一般分类 ;一个含n个变量的二阶线性偏微分方程的一般形式：;3、二阶线性偏微分方程的分类 ;定解问题的最常用解法——分离变量法 核心思想：将未知函数按多个单元函数分开;2.1 两端固定弦的自由振动（波动方程）;? 第一步：分离变量 ;选取相应的齐次定解条件，与其中一个常微分方程构成本征值问题。 ;当 时，方程 为 ;∵ ∴ 即 ;? 第三步：求特解，并进一步叠加出一般解;一般解既满足偏微分方程又满足边界条件，因而不同于通解。 ;?第四步：利用本征函数的正交性定出叠加系数;定义：本征函数的模方 ;;分离变量法的先决条件： ? 本征值问题有解 ? 定解问题的解一定可以按照本征函数展开——本征函数的全体是完备的 ? 本征函数一定具有正交性;2.2 分离变量法的物理诠释;波节：;基频：固有频率中的最小值;例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ， , 求弦作微小横向振动时的位移。;;;;弦的振动;;;;;l=1,a=10时的震动;（二）利用边界条件,得到特征值问题并求解 ;分离变量法适用范围： 偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的。 其求解的关键步骤： 确定特征函数 运用叠加原理。;作业