第二章 效用理论.docx

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目录 1

第二章效用理论 2

2.1效用函数 2

2.1.1选择集上的偏好 2

2.1.2效用函数 3

2.2期望效用理论 4

2.2.1随机计划集 5

2.2.2圣彼得堡悖论 6

2.2.3期望效用表示 7

2.2.4期望效用表示的存在性 10

2.2.5期望效用理论遇到的挑战 14

2.3风险态度及其度量 17

2.3.1风险态度 17

2.3.2风险厌恶的局部度量 19

2.3.3风险厌恶的整体度量 26

2.3.4风险资产多于一种的情形 29

2.4随机占优 29

2.4.1随机占优的思想 29

2.4.2一阶随机占优 30

2.4.3二阶随机占优 32

2.4.4其他形式的随机占优 36

第二章效用理论

刻画个体在不确定情形下的投资消费决策是金融经济学研究的一项基础。这是因为：一个经济体是由许许多多投资者和消费者组成的，而金融市场中各种金融产品的价格波动，与其中个体的各种投资消费决策也有着相当密切的联系。从这个意义上来讲，要对一个金融市场有较好的理解，要对金融产品的价格变化规律及其相关性进行探索，要对各种金融产品进行合理的定价，我们首先需要对个体的消费投资决策进行研究。效用理论便是现代金融经济学为这方面的研究提供的一种方法。

2.1中将讨论在选择集上如何利用公理化方法建立起偏好关系，以及如何利用效用函数来描述偏好关系；2.2的讨论说明：在满足一定条件的情况下，随机计划集上的效用函数可以表示为期望的形式；2.3中利用了前两部分中的讨论，使用效用函数来刻画个体在面临风险时的决策特征；2.4中将尝试利用个体部分的决策特征来刻画个体的偏好。

2.1效用函数

2.1.1选择集上的偏好

让我们从一些投资决策问题开始关于偏好的讨论。

例2.1.1假设现在有两种无风险资产A，B，它们之间唯一的不同就是收益率。A的（总）收益率为rA=1.03，B的收益率为rB=1.05。如果同一时间只能投资一项资产，那么投资者

的决策会是投资B而不投资A。理由很简单：B的投资收益率高于A。我们也可以说，投资者相较于A更偏好B。偏好关系的严格定义将在后面给出。□

例2.1.2假设有两种资产A和B，A是无风险资产，现在每投资1元，一年后能得到1.5元；B是风险资产，现在每投资1元，一年后可能以1/2的概率得到2.5元，也可能以1/2的概率得到0.5元。如果投资者现在有1元，并且只能选A、B其一进行投资，他会选择哪一种资产呢？第一类投资者可能会选择A，因为他觉得投资A能稳赚0.5元，而投资B会有亏0.5元的风险；第二类投资者可能会选择B，因为他觉得投资A只能赚0.5元，而投资B却有赚

1.5元的机会；第三类投资者可能觉得两者是一样的，因为A的收益率rA=1.5，而B的期望收益率为

因为A的收益率等于B的期望收益率，因此A和B在他们看来是一样的。在这个例子中，对于同一组资产，三类投资者表现出了三种不同的投资偏好。□

下面我们给出偏好的严格定义。选择集(ChoiceSet)X是所有待比较对象组成的集合。例如，在上面两个例子中，选择集均为X={A,B}。而在一般情形下，选择集可以根据我

们考察问题的需要灵活变动。例如，在考虑消费决策问题时，选择集可以取为消费者的消费计划集，其中包含待比较的所有消费计划，而在考虑投资决策问题时，选择集可以取为投资者的投资计划集，其中包含待比较的所有投资计划。

选择集X上的一个无差异（Indifference）关系~是集合X上的一个等价关系，也就是说，~是X上的二元关系，且满足：

(a)自反性（Reflexivity）：x∈X，成立x~x；

(b)传递性（Transitivity）：x,y,z∈X，如果x~y且y~z，则x~z；

(c)对称性（Symmetry）：xy,，如果x~y，则y~x

选择集X上的一个偏好(Preference)关系≤是集合X上的一个全序关系。也就是说，≤是X上的二元关系，满足自反性、传递性，并且还满足如下两条性质：

(d)反对称性（Anti-symmetry）：xy,，如果x≤y且y≤x，则x~y；

(e)完备性（Completeness）：x,y∈