经济数学(不定积分习题及答案).doc

第五章 不定积分 习题 5－1 ? 1.?????? 验证在(-∞,+∞) 内, 都是同一函 数的原函数. 解 2.?????? 验证在(-∞,+∞) 内, 的原函数. 解 3.已知一个函数的导数是，并且当x = 1时, 该函数值是，求这个函数. 解 设所求函数为f(x), 则由题意知 又当x = 1时，，代入上式, 得C = 故满足条件的函数为 =. 3.?????? 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 , 则由题意知 因为 所以 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 . 5. 求函数y = cosx 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x积分曲线方程为 因为 所以 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C1 = 1 与 C2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为 与 . 6. 已知 f(x) = k tan2x的一个原函数是，求常数k. 解 因为是f(x)的一个原函数 所以 7. 已知 , 求函数f(x). 解 因为由不定积分的性质, 有 所以, 令t = x+1,有 8. f(x) 是(-∞,+∞)内的连续的奇函数, F(x)是它的一个原函数, 证明: F(x)是偶函数. 证 由已知F(x)是f(x)的一个原函数, 则 又因为f(x) 是(-∞,+∞)内的连续的奇函数, 则 于是 即,故F(x)是偶函数. 9.设的原函数, 求. 解 因为 的原函数, 则 习题 5－2 ? 1. 求下列不定积分： 解 2. . 解 当时, 当0时, 故 . 3. 设某企业的边际收益是 (其中x 为产品的产量)，且当产量 x = 0 时，收益R = 0. 试求收益函数R(x) 和平均收益函数. 解 由已知边际收益是 所以在上式两端积分, 得 将代入上式, 得C = 0 故收益函数为 平均收益函数为 . 4. 某商品的需求量Q为价格P的函数. 已知需求量的变化率为且该商品的最大需量为1000.求该商品的需求函数. 解 由已知需求量的变化率为 所以在上式两端积分, 得 又因为该商品的最大需求量为Q =1000（P = 0时），代入上式, 得C = 0 故满足条件的需求函数 . 5. 一种流感病毒每天以 (240 t – 3 t 2 ) / 天的速率增加, 其中 t 是首次爆发后的天数. 如果第一天有50个病人，试问在第10天有多少个人被感染? 解 设为天被感染上的人数, 则由题意得 所以在上式两端积分, 得 又当时，代入上式, 得C = －69 习题 5－3(1) ? 1.?????? 填空： 解 2. 求下列不定积分： ? 习题 5－3(2) ? 1.?????? 求下列不定积分： 解 2. 若己知 . 求： (1) (2) (3) (4) 解 （1）因为. （2）因为 （3）因为 （4）因为 3. 下列不定积分： 解 . 习题 5－3(3) ? 1．? 下列不定积分： （12） 解 . 移项解方程, 得 . 移项解方程, 得 2.?????? 已知的一个原函数是，求. 解 因为的一个原函数是, 则 所以两边求导, 得 于是 故 . 3.已知，求. 解 设 由已知，则 所以 故 . 4. 已知的一个原函数是，求. 解 因为的一个原函数是,则 所以两边求导,得 于是 故 . 习题 5－4 ? 求下列不定积分： 解 解 解 解 解 解 解 解 解 综合习题五 ? 1.选择填空： (1) 设, 则f(x) = ( ) . ① cot4x ② －cot4x ③ 3cos4 x ④ 3cot4 x (2) 设, 则k = ( ) . ① -1