华校小学数学五年级（下）第十五讲 综合题选讲.doc

第十五讲 综合题选讲 在数学竞赛试题中渗透数学思想、方法、观念，有时还通过试题介绍或渗透某种新知识，这是数学竞赛的发展趋势。因此必须加强思维能力的训练，培养学生严谨的逻辑推理能力，灵活的技巧方法，并且通过解题培养创造性。 例1 如下图，我们规定在边长为1的正方形方格纸上，从格点O到与它相邻的格点A、B、C、D、E、F、G、H的共有8种直线运动形成线段，这8种运动依次分别记为数码0、1、2、3、4、5、6、7。如以O为起点，数码2代表形成线段OC的运动，数码7代表形成线段OH的运动等等。 在图(a)中画出了从P点出发，数码序列001223355的轨迹图形。 请你在图(b)的边长为1的正方形方格纸上，从点M出发，依次按数码序列006756442312画出相应的轨迹图形。以这轨线图形周界和内部的格点为顶点可画出面积不小于2的正方形个数是多少？ 分析 此题关键是看懂题目，即线段分别记为数码0、1、2、3、4、5、6、7的意义，如下图： 数码0 代表线段OA， 数码1 代表线段OB， 数码2 代表线段OC， 数码3 代表线段OD， 数码4 代表线段OE， 数码5 代表线段OF， 数码6 代表线段OG， 数码7 代表线段OH。 这样，006756442312所对应的轨迹图形为封闭折线，为清楚起见标上字母，即为S=MM1M2M3M4M5M6M7M8M9M10M11M，如下图。 因为在S边界上有12个格点（M，M1～M11）（M1M3N3M11） （M3M4M5N3） （M5M7M9N3） （M9N3M11M10） （N1N2N5N4）。52－32有2k+1=(k+1)2-k2 (k=1,2,3,…)=1981045。 1981045除以24余13，因此第1990组最后一个数除以6余5，并且第1991组各数被6除余数顺序如下： 3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，…。还是24个数为一个周期，一个周期内各余数之和是： 3+2+5+1+0+1+1+2+3+5+2+1+3+4+1+5+0+5+5+4+3+1+4+5=66 66被6整除，就是说每个周期中的数的和能被6整除。第1991组有1991个数，1991除以24商82余23，这1991个数之和被6除余数应等于前23个数之和被6除的余数，也就是66减去最后一个数5所得差被6除的余数。 66-5=61，它除以6余1。 由上述分析、计算，知第1991组各数之和被6除余1。 例4 有1993个硬币，排成一行，开始时，都是国徽的一面，不妨说都标为“0”。第1次，将1993个币翻面，变成“分值”的一面，不妨说都变成“1”。第2次，将其中1992个币翻面，第3次将1991个币翻面，依次递降…，第1993次，将1个币翻面。问可否使其结束状态为1993个面全为“1”？ 分析 设一行硬币总共有N个， 如N=1，初始：｛0｝，结束：｛1｝，可以办到。 如N=2，初始：｛0，0｝，第1次：｛1，1｝， 第2次：｛0，1｝，结束状态不是｛1，1｝。 如N=3，初始：｛0，0，0｝，第1次：｛1，1，1｝ 第2次：｛0，0，1｝ 第3次：｛0，1，1｝或｛0，0，0｝ 结束状态不会是｛1，1，1｝。 如N=4，初始：｛0，0，0，0｝ 第1次：⊿=+4，｛1，1，1，1｝（翻动4个币总值增加4，记为⊿=+4，读作“加4”）。 第2次：⊿=-3，｛0，0，0，1｝（翻动3个币，总值减少3，记为⊿=-3，读作“减3”）。 结束状态可以是｛1，1，1，1｝。 下面，对于N=5的情况，用树形图，表达这个推理过程，其中结点（即圈内数字）表示5个硬币的状态。 分枝上的记号，代表翻币的过程。 原来的1个0变成1，记为⊿=+1， 原来的1个1变成0，记为⊿=-1。 翻币情况（从上到下的一串分枝上的⊿的和等于5时，初始的5个0最终即变为5个1）： 结论：对于N=5有2种方式达到所要求的目标。对于任意大的N值，可以用递推的思想方法，得到一般性结论： 如N=k时，依次递减个数的翻币，能使“k个0”变成“k个1”，那么，N=k+4也可依次递减个数翻币，使“k+4个0”变成“k+4个1”，反之亦然。设计树形图： 下面再依次翻k个币，k-1个币，…。在这些翻动过程中始终保持前4个1不变。这样，以下即化为N=k时的情况。 结论：N≡0，1（mod 4））。 对于N≡2（mod 4）=(4k+3)(2k+1)=奇数 偶数≠奇数。 对于N≡3(mod 4)，记作N=4k+3。 4k+3个奇数之和=奇数， 另一方面， =（2k+2））