2010高三周练试卷3.doc

高三周练理科数学试卷（三） （导数定积分） 姓名 16.（2010·辽宁高考理科·Ｔ21）已知函数 （I）讨论函数的单调性； （II）设.如果对任意，，求的取值范围。 17.（2010·天津高考理科·Ｔ2１）已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时， （III）如果，且，证明 18、（2010·浙江高考理科·Ｔ22）已知是给定的实常数，设函数，，是的一个极大值点． (Ⅰ)求的取值范围； (Ⅱ)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由． 19.（2010 ·海南高考理科·T21）设函数=. （Ⅰ)若,求的单调区间; （Ⅱ）若当时，求的取值范围. 20.（2010·福建高考理科·Ｔ20）(Ⅰ)已知函数f(x)=x3-x，其图像记为曲线C. （i）求函数f(x)的单调区间； (ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点P2（x2,f(x2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 （x3 f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则为定值： （Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。 高三周练理科数学参考答案（三） 16、 17、 （Ⅰ）解：f’，令f’(x)=0,解得x=1， 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 x () 1 () f’(x) + 0 - f(x) 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x) 令F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当x1时，2x-20,从而’(x)0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。 又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x). (Ⅲ)证明：（1） 若 （2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以,即2。 18、 （Ⅰ）f’(x)=ex(x-a) 令 于是，假设 当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合题意。 当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1ax2. 即，即 所以，所以的取值范围是。 （2）由（I）可知，假设存在及满足题意，解方程得 ，。 [1]当时，则或，于是， 即。此时 或-。 [2]当或时， ①若，则， 于是，即，于是或（舍）。 此时。 ②若，则， 于是，即， 于是（舍）或。 此时 综上所述，存在b满足题意， 当b=-a-3时， ； 当时，； 当时，。 。 19、（Ⅰ) 时，. 当时，；当时， 故的单增区间为，单减区间为. （Ⅱ）. 由（Ⅰ)知，当且仅当时等号成立， 故， 从而当，即时，，而， 于是，当时. 由可得，从而，当时， 故当时，，而，所以当时， 综上可知，实数的取值范围为. 20、（Ⅰ) (i)，令得到，令有，因此原函数的单调递增区间为和；单调递减区间为； (ii)，，，因此过点的切线方程为：，即，由得，所以或，故，进而有，用代替，重复上面的计算，可得和，又，，因此有。 （Ⅱ）【命题】若对于任意函数的图像为曲线，其类似于(I)(ii)的命题为：若对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另外一点，线段、与曲线所围成面积为，则。 【证明】对于曲线，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑的情形，，，，因此过点的切线方程为： ，联立，得到：， 化简：得到 从而所以同样运用(i)中方法便可以得到 所以。