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课题： 函数模型的应用举例（教学设计） 海南华侨中学 黄晓晓 一、创设情景，引入新课 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，若非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 由此可见，数学在我们的生活当中是无处不在，而且是十分有用的。今天我们主要是通过一些实例来感受它们的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程。 二、例题剖析 【例1】 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如下表所示. 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 根据以上数据作出分析，你要是“经理”，你觉得经营部怎样定价才能获得最大利润？ 问题1：获得利润指的是什么？ 获得利润=日均销售利润－日固定成本（200）. 问2：影响日均销售利润的因素主要有两个，那两个？ 一个是每桶桶装水的利润（等于销售单价-每桶水的定价（5）），二是日均售量。 问3：根据上表，我们发现，表中的数据具有很强的规律性，具体体现在哪里.这张表反映了销售单价与日均销售量的什么关系？ 通过引导让学生得到：当销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶， 具体分析就是当销售单价为6元时，每桶水利润为1元，这时候日均销售量是480桶，所以日均销售利润为1×480(元)；销售单价为7元时，每桶水利润为2元，这时候日均销售量是440=480-40×（2-1）桶，所以日均销售利润为2×440=2×[480-40×（2-1）](元);销售单价为7元时，每桶水利润为3元，这时候日均销售量是400=480-40×（3-1）桶，所以日均销售利润为3×400=3×[480-40×（3-1）](元)， 问4：所以当每桶水利润为x元时，日均销售量是？ 日均销售量是480-40×（3-1）桶， 问5：日均销售利润呢？ 日均销售利润为x×[480-40×（x-1）](元)。 解：设每桶水利润为x元时，日均销售利润为y元， 在此情况下的日均销售量就为480－40（x－1）=520－40x（桶）. （在实际问题中应注意变量的变化范围） 由x＞0，且520－40x＞00＜x＜13. 所以y=（520－40x）x－200=－40x2+520x－200 （0＜x＜13）. （这是一个一元二次函数，现在知道了定义域是{x|0＜x＜13}就可以求得最值了。 易知当x=6.5时，y有最大值. 所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润. 从例1中的数据可以看出它的变化是很有规律性的，它体现的是一种理想状态下的数据，对于这类问题抽象出函数模型比较容易，例1抽象出来的就是我们比较熟悉的二次函数模型，除此之外我们还有一些常见的函数模型：比如一次函数模型y=ax+b, 与指数相关的函数模型等；与对数函数有关的函数模型有等。在现实生活中，一般都是通过实际测量所得数据解决实际问题，它的规律一般不是很明显，我们必须通过计算器加以解决. 比如我们下面要解决的这个问题。 问题：按照一定的身高有相应的理想体重的原理 60 70 80 90 100 110 体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 身高/cm 120 130 140 150 160 170 体重/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 （1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式. 分析：这里只给了通过测量得到的统计数据表，我们观察发现和例1不同的是这些数据变化没有什么规律，因此要想由这些数据直接发现函数模型是十分困难的.下面该怎么办呢？有了表中的数据我们就可以通过它怎么样？画图！ 下面我们就根据这些数据画出一个散点图。（用课件打出散点图） 接着请同学们仔细观察和思考一下，所作的散点图与已知的哪一个函数图象最接近。指数函数！因此我们可以考虑用指数相关的函数模型来看看。 这里有两个系数待定，但是这里共有12组数据，是否任取两组数据，得到的a、b的值相同呢？这里要注意的是没有正确的答案，只有相对较好的答案。下面为了便于交流，我们就选择几组来试