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二面体群上的局部本原Cayley图的开题报告

开题报告：二面体群上的局部本原Cayley图研究

一、研究背景和意义

Cayley图是群论中常用的工具，它将群的元素表示为图中的节点，群元素之间的运算则表示为图中的边。Cayley图不仅能够用于研究群的性质，还能够用于研究群在拓扑学上的性质。近年来，局部本原Cayley图的研究越来越受到人们的关注。局部本原Cayley图是指群的一部分元素根据一个子集的移位变换形成的图。比如对于二面体群D_n而言，它的一个子集可以是对称轴的集合，那么它的局部本原Cayley图就是以对称轴为一类元素，通过其它若干元素进行移位而形成的图。

研究局部本原Cayley图的目的在于更深入地了解群的拓扑结构和性质。同时，局部本原Cayley图也可以应用于密码学和计算机科学等领域。

二、研究内容和方法

本研究的主要研究对象是二面体群D_n的局部本原Cayley图。首先，我们将研究局部本原Cayley图的基本性质，如连通性、欧拉数等。然后，我们将研究图的对称性质，即该图是否为对称图、它的对称群是什么。

接着，我们将探究局部本原Cayley图在拓扑学上的性质。我们将研究图的同调群、同调解析、主要特征数等拓扑性质。同时，我们也会研究局部本原Cayley图在密码学、计算机科学中的应用。

我们将使用图论、群论、拓扑学等多个数学领域的理论工具进行研究。我们将根据上述研究内容，提出和发展适当的理论模型和算法。

三、研究计划和时间安排

本研究计划在两年内完成。具体时间安排如下：

第一年：

1.学习二面体群D_n的基本性质和Cayley图的定义；

2.研究群论和图论中的基础理论，为下一步研究做好铺垫；

3.研究局部本原Cayley图的基本性质，如连通性、欧拉数等；

第二年：

1.研究局部本原Cayley图的对称性质，如对称群的构造等；

2.探究局部本原Cayley图在拓扑学中的性质，如同调群、同调解析、主要特征数等；

3.研究局部本原Cayley图在密码学、计算机科学中的应用。

四、研究预期结果和贡献

我们预计在局部本原Cayley图的研究中取得以下预期结果和贡献：

1.探究局部本原Cayley图的基本性质，为拓展其它领域的应用奠定基础；

2.研究群的对称变换，发现局部本原Cayley图的对称群，并形成新的群论研究领域；

3.探究局部本原Cayley图在拓扑学中的性质，为其它数学领域的研究提供参考或借鉴；

4.探究局部本原Cayley图在密码学、计算机科学中的应用，对安全保障等领域有一定的贡献。

总之，本研究有助于更深入地了解群的拓扑结构和性质，在拓展其它学科领域应用的同时，也将推动数学领域的发展。