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一类亚循环群的Cayley齐次分解的开题报告

开题报告

题目：一类亚循环群的Cayley齐次分解

一、研究背景

群的研究是现代数学的一大分支，在数学及其应用中有着广泛的应

用。Cayley定理是群论中重要的定理之一，它告诉我们每个有限群都可

以嵌入某个置换群中。Cayley图是群论中的另一个重要概念，它是一个

无向图，其中每个元素都表示为一个节点，每个群元素之间都存在一条

边。Cayley图是一种较为直观的理解群结构的方法，并能够帮助人们研

究群性质。

对于Cayley图的齐次分解，是研究群的自同构群或外自同构群结构

的重要方法。Cayley齐次分解研究的是如何将一个Cayley图分解成若干

等价类的并，从而研究其结构和对称性。在早期的研究中Cayley齐次

分解已经应用在有限群及其子群的结构研究、拓扑学、密码学、组合数

学等许多领域。

本论文将研究一类亚循环群的Cayley齐次分解，探索其群结构和对

称性，为理解亚循环群的性质提供更为深入的认识。

二、研究内容

本论文将基于Cayley图的齐次分解方法，研究一类亚循环群的结构

和对称性。具体包括以下几个方面：

（1）综述Cayley齐次分解的概念和方法，阐述其理论依据和应用

场景；

（2）介绍亚循环群的定义和主要性质，分析其结构和特征；

（3）研究一类亚循环群的Cayley图，将其分解成若干等价类的并

探究其结构和对称性；

（4）探讨该类亚循环群在应用中的一些特殊性质，如拓扑学、密码

学等方面的应用。

三、预期成果

本论文将完成以下几个方面的研究：

（1）深入理解Cayley齐次分解的概念和方法，对群的结构和对称

性进行更深入的探究；

（2）对一类亚循环群的结构和特征进行深入分析，为理解亚循环群

的性质提供更为深刻的认识；

（3）利用Cayley齐次分解方法研究该类亚循环群的对称性和结构

揭示其复杂性和美感；

（4）探索该类亚循环群的特殊性质在应用中的前景和价值，如在拓

扑学、密码学等领域的应用。

预期完成5万字的毕业论文，并具有一定的科学研究价值和应用前

景。

四、研究方法

本论文将主要采用文献研究法、数理分析法、数值实验法等方法

对群论中的一些基本概念和方法进行深入学习和研究，分析其理论基础

和应用意义。针对亚循环群的研究，将借助计算机程序和辅助工具，辅

助完成该类群的Cayley齐次分解以及相关结论的验证和探究。同时，还

将通过讨论群论在拓扑学、密码学等领域的应用，探索该类群论研究的

应用前景和科学价值。