高中数学选修2-2综合测试题及答案.doc

选修2-2综合测试题

一、选择题

1．在数学归纳法证明“”时，验证当时，等式的左边为〔〕

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案：Ｃ

2．三次函数在上是增函数，那么的取值范围为〔〕

Ａ．或 Ｂ．Ｃ． Ｄ．以上皆不正确答案：Ｃ

3．设，假设，那么的值分别为〔〕

Ａ．1，1，0，0 Ｂ．1，0，1，0 Ｃ．0，1，0，1 Ｄ．1，0，0，1

答案：Ｄ

4．抛物线通过点，且在点处的切线平行于直线，那么抛物线方程为〔〕

Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．

答案：Ａ

5．数列满足假设，那么的值为〔〕

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

答案：Ｃ

6．是不相等的正数，，，那么，的关系是〔〕

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不确定

答案：Ｂ

7．复数不可能在〔〕

Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限

答案：Ａ

8．定义的运算分别对应以下图中的〔1〕，〔2〕，〔3〕，〔4〕，那么，图中〔Ａ〕，〔Ｂ〕可能是以下〔〕的运算的结果

Ａ．， Ｂ．， Ｃ．， Ｄ．，

答案：Ｂ

9．用反证法证明命题“，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．”那么假设的内容是〔〕

Ａ．，都能被5整除Ｂ．，都不能被5整除

Ｃ．不能被5整除Ｄ．，有1个不能被5整除答案：Ｂ

10．以下说法正确的选项是〔〕

Ａ．函数有极大值，但无极小值Ｂ．函数有极小值，但无极大值

Ｃ．函数既有极大值又有极小值Ｄ．函数无极值答案：Ｂ

11．对于两个复数，，有以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为〔〕

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｂ

12．设在上连续，那么在上的平均值是〔〕

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

答案：Ｄ

二、填空题

13．假设复数为实数，那么的值为．答案：4

14．一同学在电脑中打出如以下图形〔○表示空心圆，●表示实心圆〕

○●○○●○○○●○○○○●

假设将此假设干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006年圆中有实心圆的个数为．答案：61

15．函数在区间上的最大值为3，最小值为，那么，的值分别为．答案：2，3

16．由与直线所围成图形的面积为．答案：9

三、解答题

17．设且，求的值．〔先观察时的值，归纳猜测的值．〕

解：当时，；

当时，有；

当时，有，

而，，．．

当时，有．

由以上可以猜测，当时，可能有成立．

18．设关于的方程，

〔1〕假设方程有实数根，求锐角和实数根；

〔2〕证明：对任意，方程无纯虚数根．

解：〔1〕设实数根为，那么，即．

由于，，那么又，得

〔2〕假设有纯虚数根，使，即，

由，，那么由于无实数解．

故对任意，方程无纯虚数根．

19．设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线．〔1〕用表示；〔2〕假设函数在上单调递减，求的取值范围．

解：〔1〕因为函数，的图象都过点，所以，即．

因为，所以．，即，所以．

又因为在点处有相同的切线，

所以，而，，所以．

将代入上式得．因此．故，，．

〔2〕，．

当时，函数单调递减．

由，假设，那么；

假设，那么．

由题意，函数在上单调递减，那么或．

所以或．

又当时，函数在上不是单调递减的．

所以的取值范围为．

20．以下命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：假设，且，那么．

解：此命题是真命题．，，，．

要证成立，只需证，即证，也就是证，

即证．，，成立，

故原不等式成立．

21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为时，银行吸收的存款能全部放贷出去；假设设存款的利率为，，那么当为多少时，银行可获得最大收益？

解：由题意，存款量，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即时，；由，得，那么，银行应支付的利息，

设银行可获收益为，那么，

由于，那么，即，得或．

因为，时，，此时，函数递增；

时，，此时，函数递减；

故当时，有最大值，其值约为0.164亿．

22．函数，数列满足，．

〔1〕求；

〔2〕猜测数列的通项，并予以证明．

解：〔1〕由，得，

，

．

〔2〕猜测：，

证明：〔1〕当时，结论显然成立；

〔2〕假设当时，结论成立，即；

那么，当时，由，

这就是说，当时，结论成立；

由〔1〕，〔2〕可知，对于一切自然数都成立．