江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高三下学期开学考试数学图片版含答案.docx
年第二学期高三年级期初学情调研测试数学参考答案
1.B2.D3.B4.D5.A6.D7.B8.A
9.AD10.ABD11.BCD12.6413.14.
15.（1）根据题意，可得如下的的列联表：
年长者
年轻人
总计
喜欢阅读电子书
6
24
30
喜欢阅读纸质书
12
18
30
总计
18
42
60
..............................................................2分
则................4分
所以有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关．.................6分
（2）由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名，
所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3
由超几何分布的分布列可得
，，
，........................10分
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
............................................11分
则期望为.?.............13分
16.（1）取的中点，连接，，
因为，所以，
又，，所以，
在正方形中，，所以，
所以，
又，所以，即，................3分
又，平面，平面，所以平面，......5分
所以四棱锥的体积为；....7分
（2）过作交于，则，结合（1）中平面，
故可建以为原点，、、所在直线为、、轴的空间直角坐标系，如图所示，
所以，，，，
故，，.......................9分
设平面的法向量为，
则，故，
取，则，，
故平面的一个法向量为，......................11分
因为平面，所以平面的一个法向量为，.......12分
所以，.......................13分
设二面角的大小为，由图可知为锐角，
所以,所以
所以二面角的平面角的正弦值为．.....................15分
17.（1）由题意，当时，，得，,....1分
当时，，①，②
①②得，....................................3分
因为，所以．则，.....5分
∵，∴，
所以是以为首项，3为公比的等比数列................6分
所以，则................8分
（2）由，
则，.............11分
所以的前项和：
..............15分
18.（1）由，，
得.
令，解得..............2分
当时，，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增..............4分
当时，恒成立，在上单调递增..............5分
当时，，
当时，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增..............7分
综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为........8分
（2）因为对任意，均存在，使得，
所以..............9分
当时，取得最大值，最大值为0..............10分
由（1）得，
Ⅰ）当时，在上单调递增，上单调递减
即当时，取得最大值，
解得，即..............12分
Ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
，
，又因为，所以无解；....14分
Ⅲ）当时，在单调递增区间，，
所以无解；.............15分
Ⅳ）当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
又因为，所以无解.