概率论与数理统计　　全套课件.ppt

且两两互不相容. 称上式为二项分布. 记为 经计算得 解 例2 解 三、内容小结 4 二项分布 5 几何分布 备用题 伯恩斯坦反例 一个均匀的正四面体, 其第一面染成红色, 第二面染成白色 , 第三面染成黑色, 而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A , B, C 分别 记投一次四面体出现红, 白, 黑颜色朝下的事件, 问 A,B,C是否相互独立? 解 由于在四面体中红, 白, 黑分别出现两面, 因此 又由题意知 例1 故有 因此 A、B、C 不相互独立. 则三事件 A, B, C 两两独立. 由于 例2、 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若10名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少? 射击问题 解 事件 B 为“击落飞机”, 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率. 解 A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中敌机 , 例3 因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为 En: 可看成将 E 重复了n次, 这是一个n重 贝努里试验. 解 例４ E ：观察1局比赛甲是否获胜 设在n次试验中，A恰好出现 k 次的概率为： “甲甲”, “乙甲甲”, “甲乙甲”; “甲乙甲甲”, “乙甲甲甲”, “甲甲乙甲”; ······ 如：比赛3局， “甲甲甲”； 比赛4局， 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率. 先验概率与后验概率 解 例3 由贝叶斯公式得所求概率为 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症. 1.条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 小结 乘法定理 §1.9 随机事件的独立性 (一) 两个事件的独立性 由条件概率，知 一般地， 这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率有影响. 然而，在有些情形下又会出现： 则有 1.引例 2. 定义 注. 1o 说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关. 2o 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念. 两事件相互独立 两事件互斥 例如 二者之间没 有必然联系 独立是事件间的概率属性 互斥是事件间本身的关系 1 1 由此可见两事件相互独立但两事件不互斥. 两事件相互独立 两事件互斥. 由此可见两事件互斥但不独立. 又如： 两事件相互独立. 两事件互斥 可以证明： 特殊地， A与B 独立 ? A与B 相容( 不互斥) 或 A与B 互斥 ? A与B 不独立 证 若A与B 独立, 则 即 A与B 不互斥(相容). 若A与B互斥，则 AB = ? B发生时，A一定不发生. 这表明: B的发生会影响 A发生的可能性(造成A不发生), 即B的发生造成 A发生的概率为零. 所以A与B不独立. 理解: ? B A 3.性质 (1) 必然事件? 及不可能事件?与任何事件A相互独立. 证 ∵ ?A=A, P(?)=1 ∴ P(?A) = P(A)=1? P(A)= P(?) P(A) 即 ?与A独立. ∵ ?A=?, P(?)=0 ∴ P(?A) = P(?)=0= P(?) P(A) 即 ?与A独立. (2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件 也相互独立. ① ② ③ 证 ① 注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭. 又∵ A与B相互独立 ③ 甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率. 解 设 A={ 甲击中敌机 } B={ 乙击中敌机 } C={敌机被击中 } 依题设, ∴ A与B不互斥 例1 ( P(A)+P(B)=1.11≥P(A+B) ) 由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立,进而 = 0.8 1. 三事件两两相互独立的概念 (二) 多个事件的独立性 定义 2. 三事件相互独立的概念 定义 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件， 若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1 i 2 ··· i k≤n 3. n 个事件的独立性 定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件相互独立，即对于一切 1 ≤i j ≤n, 有 定义 注. 两个结论 n 个独立事件和的概率公式: 设事件 相互独立,则