复合函数求导课件.ppt

***********示例1：两个函数相乘1求导函数y=u(x)v(x)2链式法则y=u(x)v(x)+u(x)v(x)3公式应用将两个函数的导数相乘示例中，两个函数相乘的复合函数求导，需要使用链式法则。示例2：幂函数的复合原函数设原函数为f(x)=(x^2+1)^3,其中x^2+1为内层函数，3次方为外层函数。求导步骤首先求外层函数的导数，即3(x^2+1)^2，然后乘以内层函数的导数，即2x，最后将两者相乘得到f(x)=6x(x^2+1)^2。简化结果最后得到复合函数的导数为f(x)=6x(x^2+1)^2。示例3：对数函数的复合1定义对数函数的复合是指将一个函数作为另一个对数函数的自变量，例如，y=ln(x^2+1)就是一个对数函数的复合，其中x^2+1是内部函数，ln是外部函数。2求导法则对数函数复合的求导法则为：y=(1/u)*u，其中u是内部函数，u是内部函数的导数。3步骤1.将内部函数设为u，求出u。2.将u和u代入求导法则，即可得到复合函数的导数。示例4：三角函数的复合1原函数y=sin(x^2)2内层函数u=x^23外层函数y=sin(u)4求导y=cos(u)*u复合函数求导需要先求外层函数对内层函数的导数，再乘以内层函数的导数。在这个例子中，外层函数是sin(u)，内层函数是x^2。外层函数对内层函数的导数是cos(u)，内层函数的导数是2x。因此，y=cos(u)*u=cos(x^2)*2x。复合函数求导的一般形式链式法则复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数的导数。表达式假设y=f(u)且u=g(x)，则y=f(g(x))的导数为dy/dx=dy/du*du/dx。应用链式法则用于求解多个函数嵌套的复合函数的导数，可以简化求导过程。复合函数求导的注意事项注意链式法则在求导过程中，需要使用链式法则对内部函数进行求导，并将结果乘以外部函数的导数。注意求导顺序从外到内逐层求导，先求导外层函数，再求导内层函数。注意变量替换在求导过程中，可以将内层函数视为一个整体，并将其替换为一个新的变量。注意特殊情况例如，当遇到常数函数或简单函数时，求导过程会比较简单。练习1求函数y=(x^2+1)^3的导数。这个函数是一个复合函数，外层函数是立方函数，内层函数是平方函数加上1。可以用复合函数求导法则进行求导。首先求外层函数的导数，即3(x^2+1)^2，然后求内层函数的导数，即2x。最后将两个导数相乘，即3(x^2+1)^2*2x=6x(x^2+1)^2。因此，函数y=(x^2+1)^3的导数为6x(x^2+1)^2。练习2求函数y=(x^2+1)^3的导数。这是一个典型的复合函数求导的例子，其中外层函数是三次方函数，内层函数是平方函数加1。我们可以利用复合函数求导法则进行求解。练习3求函数y=(x^2+1)^3的导数。y=3(x^2+1)^2*2x=6x(x^2+1)^2练习4求函数f(x)=(x^2+1)^3的导数。首先，我们需要找到f(x)的复合函数结构。我们可以看到，f(x)是一个三次幂函数，其底数是x^2+1，而x^2+1又是一个二次函数。接下来，我们可以使用复合函数求导法则来求f(x)的导数。根据复合函数求导法则，f(x)的导数等于f(u)*u(x)，其中u=x^2+1。因此，f(x)的导数为3(x^2+1)^2*2x=6x(x^2+1)^2。练习5求函数y=(x^2+1)^3的导数本题可以使用复合函数求导法则求解，首先将函数拆分成外层函数y=u^3和内层函数u=x^2+1，分别求导，然后将结果相乘即可复合函数求导的应用场景11.曲线切线方程复合函数求导可以用来求出曲线上某一点的切线方程，方便分析曲线的变化趋势。22.物理学模型例如，描述物体运动轨迹的方程通常是复合函数，求导可以获得速度、加速度等重要物理量。33.优化问题在经济学、工程学等领域，复合函数求导可以用来寻找函数的最大值或最小值，优化目标函数。44.误差分析通过对复合函数求导，可以评估输入变量的变化对输出变量的影响，从而分析误差传播。曲线的切线方程求曲线的切线方程是微积