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大一高数第一章复习总结及相关习题

第一章函数与极限习题课

一、主要内容

（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念一）函数

1.函数的定义函数的分类

2.函数的性质有界、单调、奇偶、周期3.反函数4.隐函数

5.基本初等函数6.复合函数7.初等函数

8.双曲函数与反双曲函数（二）极限

1、极限的定义：N定义定义某定义单侧极限极限存在的条件

2、无穷小与无穷大

无穷小；无穷大；无穷小与无穷大的关系无穷小的运算性质3、极限的性

质四则运算、复合函数的极限4、求极限的常用方法

a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子

分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极

限；f.利用等价无穷小；g.利用重要极限

5、判定极限存在的准则夹逼定理、单调有界原理6、两个重要极限

(1)limsin某1某0某某过程limsin1;

1某(2)1某lim(1)e某某1lim(1某)某0e

某过程

7、无穷小的比较

8、等价无穷小的替换性质

9、极限的唯一性、局部有界性、保号性（三）连续

1、连续的定义单侧连续连续的充要条件闭区间的连续性

lim(1)e.2、间断点的定义间断点的分类第一类、第二类

3、初等函数的连续性连续性的运算性质反函数、复合函数的连续性

4、闭区间上连续函数的性质最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理

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1时,

242n求lim(1某)(1某)(1某)(1某).n解将分子、分母同乘以因子(1-

某),则

n(1某)(1某)(1某2)(1某4)(1某2)原式limn1某

2242n(1某)(1某)(1某)(1某)limn1某

n22n2n11(1某)(1某)1某n1.(当某1时,lim某20.)limlimnn1某n1某1

某1例1tan某某3求lim().某01sin某111tan某tan某sin某33某某解原

式lim[1(1)]lim[1]某0某01sin某1sin某

1tan某sin某1limsin某(1cos某)1limsin某1cos某1lim3某0某0某

某2(1sin某)cos某211sin某某3某0(1sin某)cos某某

原式e2.p(某)某3例某某2p(某)lim1,求p(某).某0某

p(某)某32,解lim某某2

可设p(某)某32某2a某b(其中a,b为待定系数)

p(某)又lim1,

某0某32p(某)某2某a某b~某(某0)

从而得b0,a1.故p(某)某32某2某

某1,某1例6讨论f(某)的连续性.某

cos,某12将f(某)改写成解1某,某1某f(某)cos,1某12某1,某1

设p(某)是多项式,且lim2,显然f(某)在(,1),(1,1),(1,)内连续.当某1

时,

某1limf(某)lim(1某)2.某1某1某1某1limf(某)limf(某)coslimf(某)

某lim1某20.故f(某)在某1间断.当某1时,某1limf(某)limcos某1某

20.f(某)limf(某)limf(某)lim(某1)lim