平面向量基本定理及坐标表示（12大题型）解析版—2024-2025学年高一数学（人教A版必修第二册）.pdf

平面向量基本定理及坐标表示1（2大题型）

【题型归纳目录】

题型一：平面向量基本定理的理解

题型二：用基底表示向量

题型三：平面向量的坐标表示

题型四：平面向量加、减算的坐标表示

题型五：平面向量数乘算的坐标表示

题型六：向量共线的判定

题型七：利用向量共线的坐标表示求参数

题型八：定比分点坐标公式及应用

题型九：数量积的坐标算

题型十：平面向量的模

题型H^一：平面向量的夹角、垂直问题

题型十二：平面向量数量积的综合应用

【思维导图】

平面向■的正交分解

平面向■的坐标表示

平面向量基本定理及坐

标表示

【知识点梳理】

知识点一：平面向量基本定理

1、平面向量基本定理

如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量Z,有且只有一对实数

，使称4弓+e2为q©的线性组合.

①其中££叫做表示这一平面内所有向量的基底；

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量££的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.

a=Ae+A^e且。=44+4e2,那么4=4,4=%.

这说明如果ll2

③当基底1是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际

上是平面向量坐标表示的基础.

知识点诠释：

平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对

应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.

2、如何使用平面向量基本定理

平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合.

(1)由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解

答几何问题时，就可以先把己知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的算，达到解题的目的.

(2)在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示.选择了不共线的两个向量

I、尾，平面上的任何一个向量Z都可以用I、晟唯一表示为2=41+4晟，这样几何问题就转化为代数

问题，转化为只含有［、W的代数算.

题型一：平面向量基本定理的理解

【例1】若忖，号是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是()

——►—►——--*1--

4.{,乌_,}B.产1_万4j

C.{2%—3,,6,-44}D.+36}

【答案】D

【解析】对于A：e-e=-(e-e),

x221

所以为共线向量，不符合基底的定义，故A错误;

对于B：2,—4=2，（—/%）,

所以2］-易4-,最为共线向量，不符合基底的定义，故B错误;

对于C：2与—3=~~(6,—4%),

所以21-3,,61-4晟为共线向量，不符合基底的定义，故C错误；

对于D：设存在唯一的实数4使,=4(,+34)=1+34%，

则、，J此方程无解，故6+020+302能作为平面向量的基底.故D正确.

=1

故选：D.

【变式1-1