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第二章：状态方程和输出方程

§2.1系统状态空间描述的概念;分别称为状态矩阵,输入矩阵和输出矩阵.

系统状态空间描述的特点:

系统的状态变量的个数=系统中包含的独立储能元件的个数=等于系统的阶数(该阶数与经典控制论中概念一致)

对于给定的系统,状态变量的选择不是唯一的,但各种选择的状态变量的个数都是相同的.;3)一般来说,状态变量不一定是物理上可测量或可观察的量,也可能是纯数学的量,没物理上的意义.

建立系统状态空间模型的步骤;

1)选择适宜的状态变量.

2)根据系统物理机理或其他方面的机理列写微分方程,化成一阶微分方程组.

3)写成矩阵形式,得到状态空间模型.;§2.2系统的一般时域模型化为状态空间模型;选择状态变量:

其中参数由下式决定;即:;§2.3系统的频域描述化为状态空间描述;其中是系统两两相异的极点.按下式

计算

二,控制系统传递函数的极点为重根.

1)传递函数的极点为一个重根.

其中是系统的重极点.按下式计算

;2)传递函数的极点为个重根.

此时系统的状态空间模型由个1)中的系统并联而成.

三,传递函数的极点既有单极点,又有重极点.

此时系统的状态空间模型由所有的单极点系统和所有的重极点系统并联而成.系统的状态矩阵为约当标准型.;§2.4据状态变量图列写状态空间描述;状态变量图中,就是选择积分器的输出作为状态变量,

进而导出系统的状态空间模型.

列写状态空间描述的步骤:

1,对传递函数进行处理.

2,画系统对应的方块图.

3,画系统的状态变量图.

4,依据状态变量图,列写出系统状态方程与输出方程.;二,一阶系统的状态空间描述

三,阶系统的状态空间描述

设阶系统的传递函数为;令

或

可得

根据上式,可得系统的方块图,继而得系统的变量图.;§2.5据系统方块图导出状态空间描述;因此,我们可以以这些惯性环节和积分环节的输出作为状态变量的拉氏变换来导出状态空间模型.

基于方块图导出状态空间模型要比基于状态变量图导出状态空间模型简单.

二,方块图导出状态空间模型的步骤

1)将系统方块图中的每一环节都分解为积??环节和惯性环节的组合.;2)以所有惯性环节和积分环节的输出作为状态变量的拉氏变换.

3)列出所有惯性环节和积分环节输入输出的拉氏变换关系式.

4)对所有3)中的拉氏变换关系式求拉氏反变换得到一阶微分方程组.

5)把4)中的一阶微分方程组化成向量矩阵表示的状态方程与积分方程.;§2.6据系统状态空间描述导出频域描述;结论:从(2)式可知:系统的极点和系统状态空间模型

中状态矩阵的特征值是一致的.

问题:对同一个系统,选择不同的状态变量,所得的状

态空间模型之间有什么关系?

对同一个系统,不同的状态变量之间存在着线性

变换关系,这相当于在(1)中做状态变量的可逆线性

变换或.那么;

所以,我们有

结论:对同一个系统,可以选择不同的状态变量,但所

得到的状态空间模型的状态矩阵是相似的.;第三章：系统的运动与离散化

§3.1矩阵指数概念;线性时变系统的状态转移矩阵,恰为以下矩阵微分

方程的解

注:状态转移矩阵也常被记作.

状态转移矩阵的性质:

1)唯一性:线性时变系统的状态转移矩阵是唯一的.;2)可逆性:

3)可分解性:

4)传递性:

对于线性定常系统,其状态转移矩阵为

线性定常系统的自由运动因此为

;二,矩阵指数的定义

一般的指数函数有如下的定义

据此定义矩阵指数函数如下:

可以证明:线性定常系统的状态转移矩阵为.

;§3.2矩阵指数函数的计算方法;

式中,为的函数.根据的不同

特征值情况,由不同的公式给出.;(补充材料)

Cayley-Hamilton定理:设的特征多项式为

那么有

Cayley-Hamilton定理说明矩阵的次或超

过次以上的幂都可以化为的次多项式来进

行计算.;Cayley-Hamilton定理应用举例: