导数的概念及运算.docx

导数的概念及运算

知识清单：

考点1函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

1．定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).

2．几何意义

函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

考点2基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)＝c(c为常数)

f′(x)＝0

f(x)＝xn(n∈Q*)

f′(x)＝nxn－1

f(x)＝sinx

f′(x)＝cosx

f(x)＝cosx

f′(x)＝－sinx

f(x)＝ax

f′(x)＝axlna(a0且a≠1)

f(x)＝ex

f′(x)＝ex

f(x)＝logax

f′(x)＝eq\f(1,xlna)(a0且a≠1)

f(x)＝lnx

f′(x)＝eq\f(1,x)

考点3导数的运算法则

若y＝f(x)，y＝g(x)的导数存在，则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq\f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0)．

考点4复合函数的导数

设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f[φ(x)]在点x处也有导数y′x＝f′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

[必会结论]

1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同．

2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.

3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

例题讲解：

1．已知为可导函数，且，则（）

A． B．

C． D．

2．函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝()

A．1 B．2

C．3 D．4

3．曲线y＝eq\f(sinx,sinx＋cosx)－eq\f(1,2)在点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))处的切线的斜率为()．

A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(2),2)

4.[2016·云南一检]函数f(x)＝eq\f(lnx－2x,x)的图象在点(1，－2)处的切线方程为()

A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0

C.x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0

5．(2014·烟台期末)设函数f(x)＝xsinx＋cosx的图像在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图像为()．

6．[2016·大同质检]一点P在曲线y＝x3－x＋eq\f(2,3)上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()

A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))

C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\v