线性变换的矩创新阵.ppt

高等代数高等代数一、线性变换在基下的矩阵二、相似矩阵一、线性变换在基下的矩阵的线性变换.则对任意存在唯一的一组数设是线性空间V的一组基，为V使从而，由此知，由完全确定.一组基在下的象即可.所以要求V中任一向量在下的象，只需求出V的命题4.2.1设是线性空间V的一组基，为V的线性变换，若则由已知，即得由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定.证：对证：定义都存在线性变换使任意n个向量命题4.2.2设是线性空间V的一组基，对V中易知为V的一个变换，下证它是线性的.任取设为V的线性变换.则于是又设为数域P上线性空间V的一组基，为V的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设用矩阵表示即为其中②单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；矩阵A称为线性变换在基下的矩阵.①A的第i列是在基下的坐标，注：它是唯一的.故在取定一组基下的矩阵是唯一的.数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；例1.设线性空间的线性变换为求在标准基下的矩阵.解：线性变换运算与矩阵运算定理4.2.2设为数域P上线性空间V的一组的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，V的每一个线性变换都与中①线性变换的和对应于矩阵的和；②线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；③线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；④可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.证：设为两个线性变换，它们在基下的矩阵分别为A、B，即①∴在基下的矩阵为A＋B.②∴在基下的矩阵为AB.③∴在基下的矩阵为④由于单位变换(恒等变换)对应于单位矩阵E.相对应.所以，与AB＝BA＝E因此，可逆线性变换与可逆矩阵A对应，且逆变换对应于逆矩阵（推论4.2.1）定理4.2.3设线性变换在基下的矩阵为A,在基下的坐标为在基下的坐标为则有证：由已知有由于线性无关，所以又下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵矩阵是X，则(Ⅱ)(Ⅰ)定理设线性空间V的线性变换在两组基证：由已知，有由此即得于是，相似矩阵设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆矩阵使得则称矩阵A相似于B，记为2．基本性质③传递性：①反身性：（1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：②对称性：定理线性变换在不同基下的矩阵是相似的；同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作证：设且A是线性变换在基下的矩阵.显然，也是一组基，矩阵就是B.且在这组基下的高等代数高等代数