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数的基本原理与方程.doc

发布:2017-03-23约1.58千字共5页下载文档
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数的基本原理与方程 【基础知识】 1.若,则为有理数; 2.若,且,则整除; 3.若,且互质,则对,有与互质; 4.若,且,则 5.唯一分解定理 【方法指导】 与整数有关的方程问题常用求解策略: 1.缩小范围,逐一检验;2.利用整除性分析(因式分解,或表示为分数形式); 3.利用余数;4.利用数的有理性.有时需要综合运用多种方法. 【典型例题】 1.已知,试求所有的正整数,使得为中的项. 2.若,且,则______________. 分析:为偶数,从而为奇数,故为的约数, 又31是质数,,即当时,是整数. 3.设正整数数列是等比数列,其公比不是整数,且,则可取到的最小值为________________. 分析:由题意,必为有理数,又不是整数,且, 故可设,其中,且互质, 又,故,因为互质,所以整除, 注意到,,故,易知存在使. 4.设,求最小的,使. 5.已知等差数列的公差不为0,等比数列的公比是小于1的正有理数.若 ,且是正整数,则等于 . 6.是否存在,使? 分析:因为为奇数,而为偶数,所以上式无解. 7.已知,当时,方程是否有解? 分析:若,原式可化为,或1(舍),; 若,原式可化为,①若,则左边,右边;②若,则;若,则,故不能成立. 8.已知,是否存在正整数,使得成等比数列,, 又,满足题意. 9.是否存在且,满足? 分析:若,原式即①,因为,所以, 从而,而,故①式不成立; 当时,易求得,只需令,即时, 有,又易证满足. 综上,当时,不存在满足题设条件; 当时,存在,满足题设条件. ,是否存在,使得,,是等差数列? 解:,若存在满足题意, 即=,整理得. 解法1,从而, 故,化简得,这显然不可能. 解法2:由去分母得, 两边同除以,得, 左边除以3余2,而右边是3的整数倍,显然不能相等. 11.已知数列的前项和为,且,求满足的所有正整数. 解:易知,由 1)时不满足 2)时, I)时,; II)时,; 又,.故不存在 III)时,, 从而,即, 或,又舍;舍. 综上,. 12.是否存在且,使得? 分析:注意到左边为有理数,而,或时,右边为无理数,不满足; 若,则,若为有理数,则,又,故…… 13★.已知,试求出所有的有序正整数对,使得 . 14.求证:对于一个给定的正整数,存在一个各项及公差都不为零的等差数列 ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列. 解:设为等差数列,公差,且, 若中存在三项成等比数列,即 ,即,整理得 ,因为,若,则, 易知,与题意矛盾!故,,必为有理数, 从而当为无理数时,中任意的三项均不能组成等比数列. 15.等差数列的首项为,公差为,等比数列的首项为,公比为(均为正整数).若,且至少存在三个不同的值使得等式成立,试求最小的及相应、的值. 解:由得:, 由得:;由得:, 而,即:,从而得:, ,当时,不合题意,故舍去,所以满足条件的. 又,,故, 即: ①若,则,不合题意; ②若,则,由于可取到一切整数值,且,故要至少存在三个使得成立,必须整数至少有三个大于或等于3的不等的因数,故满足条件的最小整数为12,所以的最小值为,此时或或12. 16.已知数列各项为正,且满足. (1)设求证:为等比数列; (2)求的通项公式; (3)设,求,并确定最小的正整数,使为整数. 解: ……………………, 由于27与64互质,故为整数,当且仅当为27的倍数, 注意到与中有且仅有一个为3的倍数, 故是27的倍数,当且仅当或是27的倍数. 又显然,由, ,故最小的. 点评:对于一些基本的原理,如不能运用公式、符号来表示,请使用必要的文字说明!
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