数的基本原理与方程.doc
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数的基本原理与方程
【基础知识】
1.若,则为有理数;
2.若,且,则整除;
3.若,且互质,则对,有与互质;
4.若,且,则
5.唯一分解定理
【方法指导】
与整数有关的方程问题常用求解策略:
1.缩小范围,逐一检验;2.利用整除性分析(因式分解,或表示为分数形式);
3.利用余数;4.利用数的有理性.有时需要综合运用多种方法.
【典型例题】
1.已知,试求所有的正整数,使得为中的项.
2.若,且,则______________.
分析:为偶数,从而为奇数,故为的约数,
又31是质数,,即当时,是整数.
3.设正整数数列是等比数列,其公比不是整数,且,则可取到的最小值为________________.
分析:由题意,必为有理数,又不是整数,且,
故可设,其中,且互质,
又,故,因为互质,所以整除,
注意到,,故,易知存在使.
4.设,求最小的,使.
5.已知等差数列的公差不为0,等比数列的公比是小于1的正有理数.若
,且是正整数,则等于 .
6.是否存在,使?
分析:因为为奇数,而为偶数,所以上式无解.
7.已知,当时,方程是否有解?
分析:若,原式可化为,或1(舍),;
若,原式可化为,①若,则左边,右边;②若,则;若,则,故不能成立.
8.已知,是否存在正整数,使得成等比数列,,
又,满足题意.
9.是否存在且,满足?
分析:若,原式即①,因为,所以,
从而,而,故①式不成立;
当时,易求得,只需令,即时,
有,又易证满足.
综上,当时,不存在满足题设条件;
当时,存在,满足题设条件.
,是否存在,使得,,是等差数列?
解:,若存在满足题意,
即=,整理得.
解法1,从而,
故,化简得,这显然不可能.
解法2:由去分母得,
两边同除以,得,
左边除以3余2,而右边是3的整数倍,显然不能相等.
11.已知数列的前项和为,且,求满足的所有正整数.
解:易知,由
1)时不满足
2)时,
I)时,;
II)时,;
又,.故不存在
III)时,,
从而,即,
或,又舍;舍.
综上,.
12.是否存在且,使得?
分析:注意到左边为有理数,而,或时,右边为无理数,不满足;
若,则,若为有理数,则,又,故……
13★.已知,试求出所有的有序正整数对,使得
.
14.求证:对于一个给定的正整数,存在一个各项及公差都不为零的等差数列
,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.
解:设为等差数列,公差,且,
若中存在三项成等比数列,即
,即,整理得
,因为,若,则,
易知,与题意矛盾!故,,必为有理数,
从而当为无理数时,中任意的三项均不能组成等比数列.
15.等差数列的首项为,公差为,等比数列的首项为,公比为(均为正整数).若,且至少存在三个不同的值使得等式成立,试求最小的及相应、的值.
解:由得:,
由得:;由得:,
而,即:,从而得:,
,当时,不合题意,故舍去,所以满足条件的.
又,,故,
即:
①若,则,不合题意;
②若,则,由于可取到一切整数值,且,故要至少存在三个使得成立,必须整数至少有三个大于或等于3的不等的因数,故满足条件的最小整数为12,所以的最小值为,此时或或12.
16.已知数列各项为正,且满足.
(1)设求证:为等比数列;
(2)求的通项公式;
(3)设,求,并确定最小的正整数,使为整数.
解: ……………………,
由于27与64互质,故为整数,当且仅当为27的倍数,
注意到与中有且仅有一个为3的倍数,
故是27的倍数,当且仅当或是27的倍数.
又显然,由,
,故最小的.
点评:对于一些基本的原理,如不能运用公式、符号来表示,请使用必要的文字说明!
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