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1 导数与微分学习疑难解答 问题 1 函数 ( )y f x= 在点 0x x= 处的极限、连续性、可导三个概念之间的 关系怎样？ 答：可导 连续 有极限 (1) 函数 ( )y f x= 在点 0x x= 处可导是函数 ( )y f x= 在该点处连续的充分条 件，函数 ( )y f x= 在 0x 处连续是在该点处可导的必要条件. 即可导必连续，但反 之不然. (2) 函数 ( )y f x= 在点 0x x= 处连续是函数 ( )y f x= 在该点处有极限的充分 条件，函数 ( )f x 在点 0x 处有极限是在该点处连续的必要条件. 即连续必有极限， 但反之不然. 问题 2 0 0( ) ( )f x f x + +′ ′和 相等吗？ 答：不相等. 两者的意义不同： 0 00 0 ( ) ( )( ) lim x f x x f xf x x++ Δ → + Δ ?′ = Δ ， 0 0( ) lim ( )x xf x f x+ + → ′ ′= 例如 2 1sin 0 ( ) 0 0 x x f x x x ? ≠?= ? ? =? 虽然 0 0 ( ) (0) 1(0) lim lim sin 0 0x x f x ff x x x+ ++ → → ?′ = = = ? ， 但 0 0 1 1(0 ) lim ( ) lim(2 sin cos ) x x f f x x x x+ + + → → ′ ′= = ? 不存在 读者可自行证明命题： 设函数 ( )f x 在 0 0[ , ]x x δ+ 内连续，在 0 0( , )x x δ+ 内可导 ( 0)δ ，且 0 lim ( ) x x f x +→ ′ 存在，则有 0 0lim ( ) ( )x x f x f x+ +→ ′ ′= 2 类似地，可以讨论 0( )f x′- 与 0( )f x ?′ 的差异. 问题 3 如果函数 ( )f x 在 ( , )a b 内可导， 0 ( , )x a b∈ ，导函数 ( )f x′ 在 0x 处不连 续，那么 0x 是导函数 ( )f x′ 的哪一类间断点？ 答：若 0( )f x′ 在 0x 处不连续，则必有下列两种情形之一： (1) ( )f x′ 在点 0x 处的左、右极限 0 0( ), ( )f x f x + ?′ ′ 都存在； (2) ( )f x′ 在点 0x 处的左、右极限至少有一个不存在. 情形(1)，由问题 2的讨论中介绍的命题知 0 0 0 0( ) ( ), ( ) ( )f x f x f x f x + ? + ?′ ′ ′ ′= = 由已知 0( )f x′ 在 0x 处可导， 0 0 0( ) ( ) ( )f x f x f x? +′ ′ ′= = ，故 0 0 0( ) ( ) ( )f x f x f x ? +′ ′ ′= = 这与 ( )f x′ 在 0x 处不连续的假设矛盾，故在题设条件下，情形(1)不可能出 现，因此 0x 是 ( )f x′ 的第二类间断点. 问题 4 如果函数 ( )f x 和 ( )g x 在点 0x 处都不可导，那么函数 ( ) ( )f x g x+ 或 ( ) ( )f x g x 在点 0x 处是否一定不可导. 答：不一定. 例如(1)取 1 1( ) , ( )f x x g x x x x = + = ? ，它们在 0x = 处均不可导， 但 ( ) ( ) 2f x g x x+ = 在 0x = 处是可导的. (2)取 3 23( ) , ( )f x x g x x= = ，它们在 0x = 处均不可导，但 ( ) ( )f x g x x= 在处 0x = 可导. 问题 5 如果函数 ( )g x 在点 0x 处或 ( )f u 在点 0u 处（其中 0 0( )u g x= ）不可导， 3 那么复合函数 [ ( )]f g x 在 0x 处是否一定不可导？ 答：不一定. 复合函数求导法则中关于函数 ,g f 的条件是保证复合函数 fog 可导的充分条件，而不是必要条件. 因此，函数 ,g 或 f 的可导性不满足时，复 合函数 fog 仍有可能是可导的. 例如：(1) 取 ( )g x x= , 2( )f u u= ，易见 ( )g x 在 0x = 处不可导， ( )f u 在 (0) 0u g= = 处可导，但 2 2[ ( )]f g x x x= = 在 0x = 处