高中数学必修五讲义.pdf

正弦定理习题 1 在V ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求 a :b :c. 答案 （1： 3 ：2 ） 2 在 ABC 中，已知 c= 2 + 6 ，C=30 °，求 a+b 的取值范围。答案 ( 2 + 6 ,8+4 3 ) 3 在△ABC 中，a2 ·tanB b2 ·tanA，判断三角形 ABC 的形状。 答案 （ 为等腰三角形或直角三角形。） VABC 4 在△ABC 中，如果lg a − lg c = lgsin B = − lg 2 ，并且 B 为锐角，试判断此三角形的形状。 答案 （ ） ∴VABC为等腰直角三角形。 a2 − b2 b2 − c2 c2 − a2 5 在△ABC 中，求证 + + = 0 . cos A + cosB cosB + cosC cosC + cos A 答案 证明：由正弦定理的变式 a = 2R sin A,b = 2R sin B 得： a2 − b2 4R2 sin2 A − 4R2 sin2 B = cos A + cosB cos A + cosB 2 2 2 4R [（1-cos A）-(1-cos B)] = cos A + cosB (cos2 B − cos2 A) 2 = = 4R (cos B − cos A) cos A + cosB 2 2 b − c 2 = 4R (cosC − cos B), cos B + cosC 同理 2 2 c − a 2 = 4R (cos A − cosC ). cos C + cos A 2 ∴左边=4R (cos B −cos A + cosC − cos B + cos A − cosC ) = 0 = 右边 ∴等式成立。 6 在△ABC 中，a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边，C=2B，求证c2 − b2 = ab . 答案 证明： Q A + B +C = 180°,∴B +C = 180° − A . 又Q C = 2B, ∴C −B = B. Q sin(B +C ) = sin(180° − A) = sin A, ∴c2 −b2 = 4R2 (sin2 C − sin2 B) = 4R2 (sin C + sin B)(sin C − sin B) 2 B +C C − B B +C C − B = 4R • 2sin • cos • 2cos • sin 2 2 2 2 = 4R2 sin(C + B)sin(C − B) = 4R 2 sin A sin B = ab = 右边. ∴等式成立. π