其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一.doc

5．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这个圆把平面分成个部分。 分析：关键是清楚时比时，区域增加了几块。仔细推敲，题中第个圆被原来的个圆分成条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了个部分，于是问题得到解决。 证明：（1）当时，一个圆把平面分成两部分，，命题成立； （2）假设时，命题成立，即个圆把平面分成了个部分；则当时，这个圆中的个圆把平面分成了个部分，第个圆被前个圆分成条弧，每条弧把它所在的部分分成了两部分，这时共增加了个部分，即个圆把平面分成： 个部分，即当时命题成立 由（1）（2）可知，对任意的命题都成立。 点评：几何问题的证明应在直观图形的基础上仔细推敲。本题中，不能错误的认为第个圆被前个圆分成段弧或分成段弧。 6．当时，证明：可将任一正三角形分成n个等腰三角形。 分析：本题适宜用先归纳再证明的方法．时结论是显然的．值得关注的是时，如图的分割中出现了一个等腰直角三角形，紧盯着这个＂等腰直角三角形＂可发现递推关系就在其中．问题就容易多了． 证明：（1）当时，分割是很容易的， 如图所示。当时，如图的分割中 出现了等腰直角三角形，这是个很有用 的结论。事实上，等腰直角三角形斜边 的中线可把原三角形分成两个等腰直角 （２）假设时，结论成立。即可将一个正三角形分成个等腰三角形． 由于且每次分割都至少有一个等腰直角三角，做该等腰三角形斜边上的中线，可分为两个等腰三角形．于是得到了个等腰三角形．即时，命题也成立． 由（１），（２）知，命题当时都成立． 评注：本题思路：“先归纳，再证明”。在的分割中得到的 “等腰直角三角形”是寻找“递推关系”的突破口。可见正确选 取初值来验证也是十分必要的。其实本题的分割也可如右图。 （三）“观察—归纳—猜想—证明” 7.数列的前项的和与满足: ,试求的通项公式. 分析:数列的特点和类型是不明确的，这就需要探索和研究，“归纳法”将会让我们发现规律。 解.由题设得:,解得. 把代入解得 ,把代入解得…. 由此猜想用数学归纳法证明如下: 1 当时,已证. 2 假设时,猜想成立,即有 则当时,由 化简得于是即猜想也成立. 由 1 、 2 可知对任意有 评注：牛顿说：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现”。合情合理的猜想会让我们发现真理。归纳为猜想提供了基础和依据，猜想是归纳的一次质的飞跃。猜想的结果是否正确，需要用数学归纳法加以证明。“观察—归纳—猜想—证明”是一种重要的科学研究方法。 30 45 60