七巧板拼成的多边形.doc
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EQ \o\ac(○,2)一、七巧板的简介
EQ \o\ac(○,2)
EQ \o\ac(○,5)? EQ \o\ac(○,6) EQ \o\ac(○,4) EQ \o\ac(○,7)? 七巧板也称“七巧图”、“智慧板”,是汉族民间流传的智力 HYPERLINK /view/24175.htm \t /subview/6906/_blank 玩具。它是由宋代的宴几演变而来的,原为文人的一种室内游戏,后在民间演变为拼图板玩具。七巧板是由下面七块板组成的,完整图案为一正方形:五块等腰直角三角形(两块小形三角形 EQ \o\ac(○,2 ) EQ \o\ac(○,5)、一块中形三角形 EQ \o\ac(○,4 )和两块大形三角形 EQ \o\ac(○,6) EQ \o\ac(○,3 ))、一块正方形 EQ \o\ac(○,1)和一块平行四边形 EQ \o\ac(○,7)。 七巧板那简单的结构很容易使人误认为要解决它的问题也很容易,其实这种想法是片面的。用七巧板可以拼出1600种以上的图案,其中有些是容易拼成的,有一些却相当诡秘,还有一些则似是而非充满了矛盾
EQ \o\ac(○,5)
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EQ \o\ac(○,6)
EQ \o\ac(○,4)
EQ \o\ac(○,7)
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二、七巧板的基本特征
1七块部件具有1,,2,四类线段共23条,其中长度为1的线段10条,长度为的线段6条,长度为2的线段5条,长度为的线段2条.
2. 七块部件的内角总和1620°,其中9个直角,12个45°角,2个135°角.
3. 不论拼成哪种多边形,其面积为常量8.
4. 七个部件的角最小是45度,最大135度。
三、拼成的多边形(*此处所指的多边形都为凸多边形)
1. 三角形
三角形的内角和等于180°,由七巧板角的特征4,且一定有一个直角,所以必定内角和为90°、45°、45°.所以拼成的三角形必为等腰直角三角形.
S=8,
直角边长=4,
2. 四边形.
四边形的内角和等于360°,由七巧板角的特征4和特征2,有较多情况。
情况一:4个90度角的矩形
情况二:45度,135度的平行平行四边形
(*情况不止这两种)
D证明一种情况不成立
D
FA
F
A
E
E
BC
B
C
过点A作AE⊥CD与E,过点B作BF⊥AE于F,连结BD,如图10-2.设CE=n,ED=m,则AB=,AD=,BC=m-n,(n<m)因为四边形面积为8,所以
S△ABD+S△DBC=mn+(m+n)(m-n)=8∴ m2-n2+2mn=16
∵ n<m∴ 16=m2-n2+2mn>m2-n2+2n2 >2n2
∴ n2<8,∴n=2或n=1.
当n=2或n=1时,m都不是整数.所以拼不出
五边形
内角和540度
六边形
内角和720度
四、深入探究
1.能否拼成七边形和八边形?(参考文献)
用一副七巧板能拼出多少凸多边形,这个问题是20世纪30年代由日本数学家提出的,最终由浙江大学的两位学者解决.他们的论文《关于七巧板的一个定理(A Theorem on the Tangram)》发表于《美国数学月刊(The American Mathematical Monthly)》1942年的第49卷.署名Fu Traing Wan 和Chuan Chih Hsiung.
采用的方法是:把七巧板先看成是由16个相同的小的等腰直角三角形即“基本三角形”所组成的,并把这种三角形的直角边叫做有理边,斜边叫做无理边.然后通过4条引理求得这16个基本三角形可能形成的凸多边形数,在从中除去不能由七巧板形成的那些,最后证明了他们最后的定理:由七巧板形成的凸多边形总共有13个.其中三角形1,四边形6,五边形2,六边形4.
另外,这些图形中8个是对称的,5个是不对称的,把不对称凸多边形的镜象也包括的话,总数就是18个,没有凸的7,8边形。
2.能否拼成比八边形以上的凸多边形?
根据七巧板性质四,七巧板的最大内角为135°.对于一个n边形,有135n≥180(n-2),得n≤8.所以不能拼成边数大于8的多边形.
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