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河北省沧州市肃宁县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）.docx

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2024-2025学年高一下3月月考试题

数学

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列命题中，正确是（）

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

2.已知，为平面内两个不共线向量，，，，则下列三点一定共线的是（）

A.，， B.，，

C.，， D.，，

3.已知向量，则（）

A.的充要条件是

B.的充要条件是

C.与垂直的充要条件是

D.若与的夹角为锐角，则的取值范围是

4.已知正方形的边长为1，则（）

A.0 B. C.2 D.

5.已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（）

A. B. C. D.

6.已知向量，.若，则（）

A.4 B. C.5 D.

7.若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，，则的最小值是（）

A.9 B. C.6 D.

8.已知在中，角的对边分别为，，点Q在边BC上，且满足（），，则的最小值是（）

A32 B.64 C.100 D.120

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.下列说法中不正确的是（）

A.方向相反的两个非零向量一定共线

B.零向量是最小的向量

C.若，则一定为一个三角形的三个顶点

D.单位向量都相等

10.在中，内角所对的边分别为，下列与有关的结论，正确的是（）

A.若，则

B.若，则是等腰直角三角形

C.若是锐角三角形，则

D.若，，分别表示，的面积，则

11.在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（）

A B.A，B，C三点共线

C. D.在上的投影向量为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图所示，两个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，则__________.

13.已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______．

14.如图，将边长为1的正五边形的各边延长，得到一个正五角星.若点在正五角星的内部（含边界），则的最小值为__________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，，

（1）用，，表示向量

（2）求

16.已知向量，．

（1）求；

（2）若向量满足，求向量；

（3）在（2）条件下，若，求实数的值.

17.已知是夹角为的两个单位向量，.

（1）求；

（2）求证：.

18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

（1）求角A的大小；

（2）若点D是BC的中点，且，求△ABC的面积的最大值.

19.长江某地南北两岸平行.如图所示，江面宽度，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向.回答下面的问题.

（1）当时，判断游船航行到达北岸的位置在的左侧还是右侧，并说明理由.

（2）当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？