2018年中考数学试题分类汇编知识点14一元二次方程的几何应用.doc
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一元二次方程的几何应用
一、选择题
1. (2018贵州安顺,T6,F3)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2 -7x+10 = 0的两根,则该等腰三角形的周长是( )
A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9
【答案】A
【解析】解x2 -7x+10 = 0,得x=2或5.已知在等腰三角形中,有两腰相等,且两边之和大于第三边,∴腰长为5,底边长为2.∴该等腰三角形的周长为5+5+2=12.
【知识点】解一元二次方程,三角形两边的和大于第三边.
二、填空题
1. (2018湖北黄冈,12题,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为__________
【答案】16
【解析】解该方程得x1=3,x2=7,因为两边长为3和6,所以第三边x的范围为:6-3x6+3,即3x9,所以舍去x1=3,即三角形的第三边长为7,则三角形的周长为3+6+7=16
【知识点】解一元二次方程,三角形三边关系
2. (2018江西,12,3分)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为________.
【答案】2,2eq \r(3),eq \r(14)-eq \r(2)
【解析】∵PD=2AP,∴设AP=x,则PD=2x,
①当P在AD边上时,如解图①,
∵AD=6,∴AP+PD=6,
∴x+2x=6即x=2,∴AP=2
②当P在DC上时,如解图②
在Rt△ADP中,AP>PD,PD≠2AP,
第12题解图① 第12题解图②
③当P在BC边上时,如解图③,
DP最大为6eq \r(2),AP最小为6,PD≠2AP,
④当P在AB上时,如解图④,
在Rt△ADP中,AP2+AD2=PD2,∴x2+62=(2x)2,解得x1=2eq \r(3),x2=-2eq \r(3)(舍),
∴AP=2eq \r(3);
第12题解图③ 第12题解图④ 第12题解图⑤ 第12题解图⑥
⑤当P在AC对角线上时,如解图⑤,在Rt△ADC中,AC=eq \r(AB2+BC2)=6eq \r(2),∴AO=eq \f(1,2)AC=3eq \r(2),在Rt△PDO中,PO=3eq \r(2)-x,PD=2x,DO=AO=3eq \r(2),∴PD2=PO2+DO2,
(2x)2=(3eq \r(2))2+(3eq \r(2)-x)2,解得x1=eq \r(14)-eq \r(2),x2=-eq \r(14)-eq \r(2)(舍),∴AP=eq \r(14)-eq \r(2);
⑥当P在DB对角线上时,如解图⑥,在Rt△APO中,AP2=AO2+PO2,∴x2=(2x-3eq \r(2))2+(3eq \r(2))2,整理得:x2-4eq \r(2)x+12=0,∴(-4eq \r(2))2-4×1×12=-16<0,∴方程无解,综上所述:AP=2或2eq \r(3)或eq \r(14)-eq \r(2)
【知识点】正方形,一元二方程的解法,勾股定理
3. (2018浙江省台州市,16,5分)
如图,在正方形中,,点,分别在,上,,,相交于点.若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为,则的周长为 .
【答案】
【思路分析】通过正方形的边长可以求出正方形的面积,根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为2:3”可以求出空白部分的面积;利用正方形的性质可以证明ΔBCE≌CDF,一是可以得到ΔBCG是直角三角形,二是可以得到ΔBCG的面积,进而求出;利用勾股定理可以求出,这样就可以求出,因而ΔBCG的周长就可以表示出来了.
【解题过程】∵在正方形ABCD中,AB=3,
∴,
∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3,
∴空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1:3,
∴,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°
∵CE=DF,
∴ΔBCE≌CDF(SAS)
∴∠CBE=∠DCF,
∵∠DCF+∠BCG=90°,
∴∠CBE+∠BCG=90°,
即∠BGC=90°,ΔBCG是直角三角形
易知,∴,
∴,
根据勾股定理:,即
∴,
∴,
∴ΔBCG的周长=BG+CG+BC=
【
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