2018年中考数学试题分类汇编知识点14一元二次方程的几何应用.doc

PAGE 一元二次方程的几何应用 一、选择题 1. （2018贵州安顺，T6，F3）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2 -7x+10 = 0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9 【答案】A 【解析】解x2 -7x+10 = 0，得x=2或5.已知在等腰三角形中，有两腰相等，且两边之和大于第三边，∴腰长为5，底边长为2.∴该等腰三角形的周长为5+5+2=12. 【知识点】解一元二次方程，三角形两边的和大于第三边. 二、填空题 1. （2018湖北黄冈，12题，3分）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为__________ 【答案】16 【解析】解该方程得x1=3，x2=7，因为两边长为3和6，所以第三边x的范围为：6-3x6+3，即3x9，所以舍去x1=3，即三角形的第三边长为7，则三角形的周长为3+6+7=16 【知识点】解一元二次方程，三角形三边关系 2. （2018江西，12，3分）在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为________． 【答案】2，2eq \r(3)，eq \r(14)－eq \r(2)　 【解析】∵PD＝2AP，∴设AP＝x，则PD＝2x， ①当P在AD边上时，如解图①， ∵AD＝6，∴AP＋PD＝6， ∴x＋2x＝6即x＝2，∴AP＝2 ②当P在DC上时，如解图② 在Rt△ADP中，AP＞PD，PD≠2AP， 第12题解图① 第12题解图② ③当P在BC边上时，如解图③， DP最大为6eq \r(2)，AP最小为6，PD≠2AP， ④当P在AB上时，如解图④， 在Rt△ADP中，AP2＋AD2＝PD2，∴x2＋62＝(2x)2，解得x1＝2eq \r(3)，x2＝－2eq \r(3)(舍)， ∴AP＝2eq \r(3)； 第12题解图③ 第12题解图④ 第12题解图⑤ 第12题解图⑥ ⑤当P在AC对角线上时，如解图⑤，在Rt△ADC中，AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝6eq \r(2)，∴AO＝eq \f(1,2)AC＝3eq \r(2)，在Rt△PDO中，PO＝3eq \r(2)－x，PD＝2x，DO＝AO＝3eq \r(2)，∴PD2＝PO2＋DO2， (2x)2＝(3eq \r(2))2＋(3eq \r(2)－x)2，解得x1＝eq \r(14)－eq \r(2)，x2＝－eq \r(14)－eq \r(2)(舍)，∴AP＝eq \r(14)－eq \r(2)； ⑥当P在DB对角线上时，如解图⑥，在Rt△APO中，AP2＝AO2＋PO2，∴x2＝(2x－3eq \r(2))2＋(3eq \r(2))2，整理得：x2－4eq \r(2)x＋12＝0，∴(－4eq \r(2))2－4×1×12＝－16＜0，∴方程无解，综上所述：AP＝2或2eq \r(3)或eq \r(14)－eq \r(2) 【知识点】正方形，一元二方程的解法，勾股定理 3. （2018浙江省台州市，16，5分） 如图，在正方形中，，点，分别在，上，，，相交于点.若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为 ． 【答案】 【思路分析】通过正方形的边长可以求出正方形的面积，根据“阴影部分的面积与正方形的面积之比为2:3”可以求出空白部分的面积；利用正方形的性质可以证明ΔBCE≌CDF，一是可以得到ΔBCG是直角三角形，二是可以得到ΔBCG的面积，进而求出；利用勾股定理可以求出，这样就可以求出，因而ΔBCG的周长就可以表示出来了. 【解题过程】∵在正方形ABCD中，AB=3， ∴， ∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2:3， ∴空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1:3， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠BCE=∠CDF=90° ∵CE=DF, ∴ΔBCE≌CDF(SAS) ∴∠CBE=∠DCF, ∵∠DCF+∠BCG=90°, ∴∠CBE+∠BCG=90°, 即∠BGC=90°，ΔBCG是直角三角形 易知，∴， ∴， 根据勾股定理：，即 ∴， ∴， ∴ΔBCG的周长=BG+CG+BC= 【