教学设计（圆周角和圆心角关系.docx

第 PAGE 3 页 共 NUMPAGES 3 页 3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 圆周角和圆心角的关系 学习目标 1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点) 2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)　 教学过程 一、情境导入 在下图中，当球员在B, D, E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？ 二、合作探究 探究点：圆周角定理及其推论 【类型一】 利用圆周角定理求角的度数 如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是(　　) A．25° B．30° C．40° D．50° 解析：∵OA∥DE，∠D＝50°，∴∠AOD＝50°.∵∠C＝eq \f(1,2)∠AOD，∴∠C＝eq \f(1,2)×50°＝25°.故选A. 方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理． 【类型二】 利用圆周角定理的推论求角的度数 如图，在⊙O中，eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(AC,\s\up8(︵))，∠A＝30°，则∠B＝(　　) A．150° B．75° C．60° D．15° 解析：因为eq \o(AB,\s\up8(︵))＝eq \o(AC,\s\up8(︵))，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B＝∠C，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠A＋2∠B＝180°，又因为∠A＝30°，所以30°＋2∠B＝180°，解得∠B＝75°.故选B. 方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用． 【类型三】 圆周角定理与垂径定理的综合 如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，E在⊙O上． (1)∠AOD＝52°，求∠DEB的度数； (2)若AC＝eq \r(7)，CD＝1，求⊙O的半径． 解析：(1)由OD⊥AB，根据垂径定理的推论可求得eq \o(AD,\s\up8(︵))＝eq \o(BD,\s\up8(︵))，再由圆周角定理及其推论求∠DEB的度数；(2)首先设⊙O的半径为x，然后由勾股定理得到方程解答． 解：(1)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴eq \o(AD,\s\up8(︵))＝eq \o(BD,\s\up8(︵))，∴∠DEB＝eq \f(1,2)∠AOD＝eq \f(1,2)×52°＝26°； (2)设⊙O的半径为x，则OC＝OD－CD＝x－1.∵OC2＋AC2＝OA2，∴(x－1)2＋(eq \r(7))2＝x2，解得x＝4，∴⊙O的半径为4. 方法总结：本题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【类型四】 圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在弧AB上，连接CD交AB于点E，点B是eq \o(CD,\s\up8(︵))的中点，求证：∠B＝∠BEC. 解析：由点B是eq \o(CD,\s\up8(︵))的中点，得∠BCE＝∠BAC，即可得∠BEC＝∠ACB，然后由等腰三角形的性质，证得结论． 证明：∵B是eq \o(CD,\s\up8(︵))的中点，∴eq \o(BC,\s\up8(︵))＝eq \o(BD,\s\up8(︵))，∴∠BCE＝∠BAC.∵∠BEC＝180°－∠B－∠BCE，∠ACB＝180°－∠BAC－∠B，∴∠BEC＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BEC. 方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形． 【类型五】 圆周角定理的推论与三角形知识的综合 如图，A、P、B、C是⊙O上四点，且∠APC＝∠CPB＝60°.连接AB、BC、AC. (1)试判断△ABC的形状，并给予证明； (2)求证：CP＝BP＋AP. 解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；(2)在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得． (1)解：△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是eq \o(BC,\s\up8(︵))所对的圆周角，∠ABC与∠APC是eq \o(AC,\s\up8(︵))所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形； (2)证明：在PC上截取PD＝AP，连接AD