量子力学曾谨言习题解答第十一章.doc

第十一章：量子跃迁 [1] 具有电荷的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为，波长较长，求： （1）跃迁选择定则。 （2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 （解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。 （1）跃迁选择定则： 为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396） （1） 式中应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，仅有一项 （2） 根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 （3） 式中， ~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： （4） 代入（3），利用波函数的正交归一化关系： （5） 由此知道，对指定的初态来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态和初态的关系必需是： 这时 （6） 这时 因得结论：一维谐振子跃迁的选择定则是：初态末态的量子数差数是1。 （2）每秒钟从基态跃迁到第一激发态的几率可以从（2）式和（7）式得到： ~447~ [2]设有一带电的粒子，质量为，在宽度为的一维无限深势阱中运动，它在入射光照射下发生跃迁，波长。 （1）求跃迁的选择定则。 （2）设粒子原来处于基态，求跃迁速率公式。 （解）本题亦是一维运动，并且亦是周期性微扰，故可用前题类似方法。 （1）跃迁选择定则： 按第三章§3.1一维无限深势阱定态波函数是：（原点取在势阱左端） （1） 根据此式计算矩阵元： 利用不定积分公式： (2) ~448~ (3) 从最后一式知道，要使矩阵元，必需要是奇数。但这个规律也可以用别种方式叙述，当是奇数时 必然也是奇数，因此一维无限深势阱受光照的选择定则是：表示初态和末态的量子数之和（或差）应是个奇数 因此二者之中，一个是奇另一个是偶。 （2）跃迁速率：依前题公式（1） （4） 偶数时，奇数时 （5） 粒子从基态，跃迁到任何一个偶数态的速率： ~449~ [3]设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z轴方向、电场沿z轴方向可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是： 求时间充分长后，氢原子跃迁到2s，或2p态的几率。 （解）按照习惯表示法，氢原子的初态（k态）的波函数是：，末态（态）的波函数是或，它们的显式是如下： 1s态 （1） 2s态 （2） 2p态 （3a） （3b） （3c） ~450~ 这些公式后面都要用来计算几率。从题意看来，原子所受的微扰是个随时间变化的函数，而且，电场的方向是固定的，与光照射情形不同（光的电磁场是看作各向同性的），因此只能用一般的随时间变化的跃迁振幅公式§ 11-1公式（24） （4） 微扰是指氢原子在此均匀电场中的偶极矩势能：