《渐开线齿轮轮廓曲线方程》.doc

渐开线齿轮轮廓线方程的建立 摘要 根据范成法齿轮切削原理，利用包络线法推导出渐开线圆柱齿轮轮齿齿廓线参数方程。并且给出了确定渐开线段和过渡线段的参数变化范围的算法。该算法已在MATLAB中编程验证。利用该参数方程，可以精确建立齿轮的三维模型，以进行后续的刚度、强度分析。 关键词：范成法；包络线；渐开线齿轮；过渡曲线 引言 渐开线齿轮广泛应用于各行各业。对齿轮的性能要求越来越高，需要对其建立三维模型进行动力学，静力学分析等等。在进行运动学和动力学分析时，需要知道轮齿齿廓曲线方程。渐开线齿轮轮齿齿廓分为两部分：渐开线部分和过渡曲线部分。渐开线部分主要用于传递运动，其曲线方程容易求到；过渡曲线部分不传递运动，但是对轮齿强度有很大影响，然而鲜有文献介绍其具体方程，一般都是近似处理，这样势必会降低分析的准确性。本文根据范成法制造齿轮的过程，采用包络曲线法建立渐开线部分和过渡曲线部分的方程，提高后续的建模分析精度。 范成法 近代齿轮的加工方法很多，有铸造法、热轧法，冲压法、模锻法和切齿法等。其中最常用的是切削方法，就其原理可以概括分为仿形法和范成法两大类。范成法是最常用的一种方法。利用一对齿轮互相啮合传动时，两轮的齿廓互为包络线的原理来加工的。将一对互相啮合传动的齿轮之一变为刀具，而另一个作为轮坯，并使二者仍按照原传动比进行运动。在传动过程中，刀具的齿廓在轮坯上形成一系列的曲线族，该曲线族的包络线便为所切齿轮的轮廓，如下图所示： 图 1 齿条刀具轮廓曲线族 常用的刀具有齿轮插刀，齿条插刀和齿轮滚刀。齿条刀具几何轮廓线简单，其在展成运动中的曲线族方程容易得到。因此本文以齿条刀具展成切削齿轮过程为例，先求出齿条刀具轮廓在展成运动中的曲线族方程，再根据包络线法求出其曲线族的包络线方程，即可得到齿轮轮廓线方程。 包络线简介 在几何学中，某个曲线族的包络线，是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线。（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系。） 一般地，设一个曲线族的每条曲线可表示为，其中是曲线族的参数是特定曲线的参数。若包络线存在，它是由得出，其中以下的方程求得： 若曲线族以隐函数形式表示，其包络线的隐方程，便是以下面两个方程消去得到。 轮廓曲线方程的建立 图 2 刀具齿轮坯坐标系 建立如图2所示的齿条刀具和齿轮坯的坐标系。曲线ABC为齿条刀具齿廓，其中AB段为直线，BC段位圆弧。m为齿轮模数，z为即将切出的齿轮齿数。d为齿条刀具节线与齿轮轮坯中心间的距离。设齿轮的变位系数为x，则d=m（z/2+x）。坐标系1与齿条刀具固连，坐标系2与齿轮坯固连。为了求取齿轮轮齿齿廓曲线方程，可将展成运动简化成如下运动：齿条刀具沿x1方向以速度v平动，齿轮坯绕自身原点以角速度w转动。v与w之间满足： 若以齿轮坯坐标系为参考坐标系，则展成运动可看成齿条刀具绕着坐标系2的原点转动，同时沿着切线方向平动。在运动过程中，AB线段曲线族的包络线就是齿轮轮齿的渐开线部分，BC段圆弧曲线族的包络线就是过渡线部分。 初始状态时，AB段曲线在坐标系1中的参数方程为： BC段曲线在坐标系1中的参数方程为： 渐开线曲线方程的建立 时刻t时，AB段线段在坐标系2中的曲线族参数方程为： 令，则，AB段线段在坐标系2中的曲线族参数方程可变为： 消去得到 （1） 在方程（1）两边对求偏导得到： (2) 联立式（1），式（2）可得： 其中， ，， ， 过渡曲线方程的建立 同理可得，BC段圆弧在展成运动过程中形成的曲线族在坐标系2中的参数方程： 其中，，，， 消去，可得： （3） 方程两边对求偏导，可得： （4） 其中，，， ， 联立上述两个方程求解可得到 在消去的过程中引入了多余的根，所以上述四组解中有三组是不符合要求的，通过实际作图判断，可以得到合理的一组解，作为过渡曲线在坐标系2中的参数方程。 经验证，过渡曲线参数方程应为 渐开线和过渡曲线参数取值范围 要得到齿轮轮齿的轮廓曲线，还需要知道其参数方程中参数的取值范围。渐开线的起始点为：渐开线与齿顶圆的交点(此时，)；渐开线与过渡曲线的切点(此时，)。过渡曲线的起始点为：渐开线与过渡曲线的切点(此时，)；过渡曲线与齿根圆的切点()。由于各切点方程和交点方程都是超越方程，其解析解不易求得，因此采用数值解法。 首先，确定参数的大致范围。参数的物理意义是，齿轮坯旋转的角度。外啮合齿轮的重合度小于2，因此，，必定落在区间内。当模数为1，齿数为41的齿轮轮齿渐开线和过渡曲线如图6所示。 齿顶圆的半径为定值，渐开线与齿顶圆只有一个交点，直接采用二分法，搜索，使得