文档详情

数学模型及基本概念.ppt

发布:2025-02-06约1.49万字共54页下载文档
文本预览下载声明

二次型:含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数上式也可表达为:对于任意的非零向量,恒有,则称f(X)为正二次型,A为正定矩阵。§2.4优化设计的数学基础二.向量与矩阵:二次型与正定矩阵:函数的偏导数:偏导数是指在某坐标轴方向函数值的变化率,连续可微的n维函数,在点的一阶偏导数表示为:,,…,第30页,共54页,星期六,2024年,5月方向导数:二维问题中,f(x1,x2)在X(0)点沿方向s的方向导数为:其中:是X(0)点的梯度。S为s方向的单位向量,。为S的方向角,方向导数为方向余弦。为梯度在方向s上的投影。三.梯度§2.4优化设计的数学基础第31页,共54页,星期六,2024年,5月§2.4优化设计的数学基础梯度的性质:①梯度是X(0)点处最大的方向导数;②梯度的方向是过点的等值线的法线方向;③梯度是X(0)点处的局部性质;④梯度指向函数变化率最大的方向;⑤正梯度方向是函数值最速上升的方向,负梯度方向是函数值最速下降的方向。对于n维问题的梯度三.梯度第32页,共54页,星期六,2024年,5月例2-1求二元函数在

处的梯度和梯度的模解:由梯度的定义可得:将代入上式得到:x2P21x12的模为:梯度的单位向量为:第33页,共54页,星期六,2024年,5月§2.4优化设计的数学基础n维函数f(x)在x(k)点的台劳展开式:二阶近似式:其中:增量ΔX(k)=[Δx1(k),Δx2(k),…,Δxn(k)]T梯度Hesse矩阵四.Hesse矩阵与正定第34页,共54页,星期六,2024年,5月§2.4优化设计的数学基础Hesse矩阵的特性:是实对称矩阵。矩阵正定的充要条件:主子式det(ait)>0当主子式det(ait)≥0时,矩阵半正定det(ait)<0时,矩阵负定det(ait)≤0时,矩阵半负定Hesse矩阵的正定性:H(x*)正定,是x*为全局极小值点的充分条件;H(x*)半正定,是x*为局部极小值点的充分条件;H(x*)负定,是x*为全局极大值点的充分条件;H(x*)半负定,是x*为局部极大值点的充分条件。正定的二次函数:曲面为椭圆抛物面;等值线族为椭圆曲线族,椭圆中心为极小值点。四.Hesse矩阵与正定第35页,共54页,星期六,2024年,5月§2.4优化设计的数学基础凸集:设D为欧氏空间Rn中X的集合,即D∈Rn,X∈D,若D域内任意两个点x(1),x(2)的连线上的各点都属于D域,则的集合D称为Rn内的一个凸集。否则,为非凸集。凸函数:f(x)是定义在n维欧氏空间中,凸集上的函数,同时x(1)∈D,x(2)∈D,ξ∈[0,1],当下式成立时,则称f(x)为定义在凸集D上的凸函数。f[ξx(1)+(1-ξ)x(2)]≤ξf(x(1))+(1-ξ)f(x(2))当上式中的≤为<时,f(x)是严格凸函数。五.函数的凸性第36页,共54页,星期六,2024年,5月§2.4优化设计的数学基础判别函数为凸函数的凸性条件:按梯度判断凸性:设f(x)是定义在凸集D上具有连续一阶导数的函数,则f(x)在D上为凸函数的充要条件是:对于任意的x(1),x(2)∈D都有成立。按二阶偏导数判断凸性:设f(x)是定义在凸集D上具有连续二阶导数的函数,则f(x)在D上为凸函数的充要条件是:f(x)的Hesse矩阵处处半正定

显示全部
相似文档