成考（专升本）高数（二）无穷级数.pptx
成考（专升本）高数（二）无穷级数
目录
CONTENTS
02
常见无穷级数
03
无穷级数的应用
01
无穷级数概述
01
无穷级数概述
无穷级数的基本性质
无穷级数与数列的关系
无穷级数的分类
无穷级数的概念
无穷级数的收敛不改变有限项不影响收敛性
级数的每一项乘以同一个常数，其收敛性不变
两个收敛级数对应项相加，其和级数仍然收敛
无穷级数的前
n
项和构成一个数列
级数的收敛性取决于数列的极限是否存在
级数的求和可以视为数列极限的一个应用
根据项的性质分为常数项级数、变量项级数和函数项级数
根据收敛性分为收敛级数和发散级数
根据项的排列方式分为交错级数和同号级数
无穷级数是由无穷个项相加组成的表达式
通常表示为
Σ_{n=0}^∞
a_n，其中
a_n
表示第
n
项
级数的每一项可以是常数、变量或函数
无穷级数的定义与分类
收敛性的定义
如果级数部分和的极限存在，则称该级数收敛
如果级数部分和的极限不存在，则称该级数发散
收敛级数的和是其部分和极限的值
收敛性的判定方法
比较判别法：通过比较项的大小判断收敛性
比值判别法：通过项的比值极限判断收敛性
根值判别法：通过项的根的极限判断收敛性
收敛性的充分必要条件
无穷级数收敛的必要条件是项的极限为零
无穷级数收敛的充分条件是满足某种判别法
无穷级数收敛的充要条件是级数的前
n
项和极限存在
收敛性相关的定理
收敛级数加收敛级数仍然是收敛的
收敛级数乘以常数仍然是收敛的
绝对收敛的级数其任意重排后仍然是收敛的
无穷级数的收敛性
STEP.
01
级数求和的方法
直接求和法：对于简单的级数可以直接计算和
变换求和法：通过变换级数形式简化求和
反函数积分法：通过级数的反函数积分求和
STEP.
02
特殊级数的求和技巧
等差级数和等比级数的求和公式
交错级数的求和技巧
幂级数的求和技巧
STEP
.03
级数求和的误差估计
估计级数求和的截断误差
估计级数求和的舍入误差
分析误差对求和结果的影响
STEP.
04
级数求和的应用
级数求和在数值计算中的应用
级数求和在物理和工程中的应用
级数求和在经济学和金融学中的应用
无穷级数的求和
02
常见无穷级数
常数项级数是指每一项都是相同常数的一种特殊级数
形式上可以表示为
a
+
a
+
a
+
...
，其中
a
为常数
这种级数的每一项都不变，是一种最简单的级数形式
常数项级数的定义
常数项级数的收敛性取决于常数项是否为零
如果常数项不为零，则级数发散
只有当常数项为零时，级数才收敛，其和为零
常数项级数的收敛性
常数项级数的求和非常简单，只需要将常数项乘以项数
如果级数收敛，其和为常数项乘以项数
n，即
S
=
a
*
n
如果级数发散，则没有有限的和
常数项级数的求和
常数项级数在数学分析中作为基础概念出现
在实际应用中，可以用于计算固定资源的分配
在理论研究中，常数项级数常作为其他复杂级数的基础
常数项级数的应用
常数项级数
等差级数的定义与性质
等差级数是每一项与前一项的差为常数的级数
形式上表示为
a,
a+d,
a+2d,
...
，其中
d
为公差
等差级数的通项公式为
a_n
=
a_1
+
(n-
1)d
等差级数的求和公式
等差级数的求和公式为
S_n
=
(a_1
+
a_n)
/
2
*
n
公式中的
n
是项数，a_1
是首项，a_n
是末项
通过这个公式可以直接计算出等差级数的和
等差级数的应用实例
等差级数在财务计算中用于计算固定利率的利息
在统计学中，等差级数可以用于描述数据的线性趋势
在物理学中，等差级数可以描述匀加速直线运动的位移
等差级数的推广
等差级数的概念可以推广到高维空间中的等差序列
在数学分析中，等差级数是研究更复杂级数的基础
等差级数的求和公式可以推广到等差数列的求和问题
Part
01
Part
02
Part
03
Part
04
等差级数
等比级数是每一项与前一项的比为常数的级数
形式上表示为
a,
ar,
ar^2,
...
，其中
r
为公比
等比级数的通项公式为
a_n
=
a_1
*
r^(n-
1)
等比级数的求和公式为
S_n
=
a_1
*
(1
-
r^n)
/
(1
-
r)，当
r
≠
1
当
r
=
1
时，等比级数退化为常数项级数
这个公式适用于公比不等于1的情况
等比级数在金融领域用于计算复利
在经济学中，等比级数可以模拟人口增长或资源的消耗
在物理学中，等比级数可以描述放射性物质的衰减
等比级数的定义与性质
等比级数的求和公式
等比级数的应用实例
01
02
04
等比级数的概念可以推广到复数域中的等比序列
在数学分析中，等比级数是研究幂级数的基础
等比级数的求和公式可以推广到其他类型的级数求和问题
要求如下：
等比级数的推广
03
等比级数